Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
Мобильный интернет
2 ГБ
2,5 ГБ
4 ГБ
3,5 ГБ
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.
Ответ: 3142
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
Ответ: 575
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
Ответ: 2
4Задание 41 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
Ответ: 75
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
430 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
180 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
Ответ: 430
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{9}{50} \cdot 25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{9}{50} \cdot 25\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{9}{50}) \cdot 25 = 4,5\).
Получили результат \(4,5\).
Ответ: \(4,5\).
Ответ: 4,5
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число 1,1?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
A
2
B
3
C
4
D
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число 1,1 по своему значению совпадает с точкой C.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}$$
Найдите корни уравнения:
x2 - 3x - 4 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 3x - 4 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -3, c = -4.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -3² - 4·1·-4 = 25.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (3 - √25) / 2 = -1
x₂ = (3 + √25) / 2 = 4
Ответ: -1;4
Ответ: -1;4
10Статистика, вероятности1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 21 чёрных, 2 жёлтых и 17 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 2 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{2}{40}\) = 0,05.
Ответ: 0,05.
Ответ: 0,05
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 6\)
Б) \(y = x^2 + 4x - 3\)
В) \(y = -\dfrac{1}{2x}\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 101,25 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 101,25/(4,5²) = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x − 0,1 \leqslant 4,9 \\ x + 2,8 > 3,9 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (1,1;5]. Это вариант 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 20 см = 0,2 м.
После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.
Ответ: 6.
Ответ: 6
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике два угла равны 58° и 51°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника равна 180°.
Третий угол равен 180° - 58° - 51° = 71°.
Ответ: 71.
Ответ: 71
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39°, угол CAD равен 19°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.
Следовательно, ∠ACD = 39°.
Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:
угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.
Получаем ∠ABC = 39° + 19° = 58°.
Ответ: 58.
Ответ: 58
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.
Решение
При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.
Следовательно, меньшее основание равно 8 - 2 = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 4 и 3.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.
3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
Идея: числитель \(-11<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x-2)^2-3<0\).
Шаг 2. \((x-2)^2<3\).
Шаг 3. \(-\sqrt{3}<x-2<\sqrt{3}\).
Шаг 4. Прибавляем 2: \(2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}\).
Ответ: \((2-\sqrt{3};\; 2+\sqrt{3})\).
Правильный ответ: (2-√3;2+√3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 25% воды, значит сухого вещества 75%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 44 кг сухих фруктов:
44 · 75/100 = 33 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 88% воды, значит сухого вещества 12%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,12·x = 33.
x = 33 / 0,12 = 275 кг.
Ответ: 275.
Правильный ответ: 275
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{2x+5}{2x^2+5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-5/2 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-5/2 \), откуда \( k=4/25 \).
Ответ: \(\frac{4}{25}\).
Правильный ответ: 4/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 20, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 24, полухорда = AB/2 = 10.
R² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676. R = 26.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 24.
d² = R² − 24² = 676 − 576 = 100. d = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на средней линии равноудалена от обоих оснований.
Шаг 1. Средняя линия параллельна основаниям и находится на расстоянии h/2 от каждого, где h — высота трапеции.
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 28 и 4, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 15² = 225, AD·BC = 28·4 = 112.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
