Загрузка заданий...
Вариант 1552 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 1189 | 841 |
| 4 | 210 | 148 |
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.
Ответ: 3124
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?
Решение
Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.
Ответ: 8
3
Задание 3
1 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.
Ответ: 210
4
Задание 4
1 балл
Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.
Ответ: 1.4
5
Задание 5
1 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.
Ответ: 11
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} + \frac{2}{5} : \frac{4}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} + \frac{2}{5} : \frac{4}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{5}) : \frac{4}{1} = \frac{1}{10}\).
Шаг 2: \((\frac{1}{1}) + \frac{1}{10} = \frac{11}{10}\).
Получили дробь \(\frac{11}{10}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,1\).
Ответ: \(1,1\).
Ответ: 1,1
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами 0,125 и 4?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа 0,125 и 4. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (1,98) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{11} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{22}$$
Решение
Вычислим выражение: 3√11 · 3√2 · √22.
Перемножим коэффициенты: 3 · 3 = 9.
Подкоренные выражения дают: √11 · √2 · √22 = √(11·2·22) = √(484) = 22.
Тогда всё выражение равно 9 · 22 = 198.
Ответ: 198.
Ответ: 198
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{1}{x - 2} = -1$$
Решение
Решим уравнение: 1/(x - 2) = -1
Область допустимых значений: x != 2.
Умножим обе части уравнения на x - 2:
1 = -1(x - 2)
Раскроем скобки:
1 = -1x + 2
Перенесём число в левую часть:
-1 = -1x
x = -1 / -1
x = 1
Проверка ОДЗ: x = 1, x != 2, условие выполняется.
Ответ: 1
Ответ: 1
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 40 чашек: 26 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 14 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{14}{40}\) = 0,35.
Ответ: 0,35.
Ответ: 0,35
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = \dfrac{2}{x}\)
Б) \(y = -x\)
В) \(y = -2x^2 + 4x\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 30 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 3 234 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 3 234/(9,8·30) = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 > 49
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² > 49 получаем границы x = ±7. Верное решение: (-∞;-7) ∪ (7;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 8° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -9° C.
Решение
Температура уменьшается равномерно на 8° C в минуту.
Через 6 минут изменение составит 8·6 = 48° C.
Итоговая температура: -9 - 48 = -57.
Ответ: -57.
Ответ: -57
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 126°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.
Сумма углов при основании равна 180° - 126° = 54°.
Каждый из них равен 54° : 2 = 27°.
Ответ: 27.
Ответ: 27
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 28 = 56.
Ответ: 56.
Ответ: 56
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание, если высота равна 5, большее основание равно 15, а угол при основании равен 45°.
Решение
При угле 45° разность оснований равна двум высотам.
Меньшее основание равно 15 - 2·5 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 8 и 10.
Больший катет равен 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-4)^4-4(x-4)^2-21=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: уравнение биквадратное по \((x-4)\). Делаем замену \(t=(x-4)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены \((x-4)^4=t^2\) и \((x-4)^2=t\). Уравнение:
\(t^2-4t-21=0\).
Шаг 2. Дискриминант: \(D=16+84=100\), \(\sqrt{D}=10\).
\(t_1=\dfrac{4+10}{2}=7,\quad t_2=\dfrac{4-10}{2}=-3\).
Шаг 3. Так как \(t=(x-4)^2\ge0\), значение \(t=-3\) не подходит. Берём \(t=7\).
Шаг 4. Решаем \((x-4)^2=7\):
\(x-4=\pm\sqrt{7}\Rightarrow x=4\pm\sqrt{7}\).
Ответ: \(4-\sqrt{7};\quad 4+\sqrt{7}\).
Правильный ответ: 4-√7;4+√7
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 26 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 217 км, скорость первого велосипедиста равна 21 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.
Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.
Шаг 2. Первый сделал остановку 26 мин = \(\frac{13}{30}\) ч, поэтому его время движения: t − \(\frac{13}{30}\).
Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:
21·(t − \(\frac{13}{30}\)) + 30·t = 217.
Шаг 4. Раскрываем: (21 + 30)·t = 217 + 21·\(\frac{13}{30}\) = 2261/10.
t = 2261/10 / 51 = 133/30 ч.
Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:
30 · 133/30 = 133 км.
Ответ: 133.
Правильный ответ: 133
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| - 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x - 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x - 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -2.
Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: -2.
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 16² + (AB/2)² = 16² + 12² = 400. R = 20.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 12 от центра:
(CD/2)² = R² − 12² = 400 − 144 = 256.
CD/2 = 16.
Шаг 3. CD = 2 · 16 = 32.
Ответ: 32.
Правильный ответ: 32
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 7.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.
Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.
BE — касательная: BE² = степень точки B.
Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).
Степень точки B: BE² = BC · BD.
Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 14 (вертикальная хорда).
BE² = BC · BD = 7 · 14 = 98.
BE = √98 = 7√2.
Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 7√2.
Ответ: 7√2.
Правильный ответ: 7√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.