Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
594
420
2
420
297
3
1189
841
4
210
148
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.
Ответ: 3124
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?
Решение
Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.
Ответ: 8
3Задание 31 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.
Ответ: 210
4Задание 41 балл
Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.
Ответ: 1.4
5Задание 51 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.
Ответ: 11
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : \frac{2}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} : \frac{2}{3}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,75\).
Ответ: \(0,75\).
Ответ: 0,75
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -4 и 2,625?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{5}{1}\)
2
\(\sqrt{2}\)
3
3,64
4
\(3\sqrt{2}\)
Решение
Сравним числа -4 и 2,625. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(\sqrt{2}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(7\sqrt{7})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (7√7)².
Используем свойство степени произведения: (7√7)² = 7² · (√7)².
Получаем 49 · 7 = 343.
Ответ: 343.
Ответ: 343
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 13x + 36 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 13x + 36 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 13, c = 36.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 13² - 4·1·36 = 25.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-13 - √25) / 2 = -9
x₂ = (-13 + √25) / 2 = -4
Ответ: -9;-4
Ответ: -9;-4
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 50 билетов, Серёжа не выучил 30 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 20 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{20}{50}\) = 0,4.
Ответ: 0,4.
Ответ: 0,4
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 10 колец.
Решение
Подставим n = 10 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·10 = 47000.
Ответ: 47 000.
Ответ: 47 000
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 4)(x - 8) > 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -4 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 8) > 0 получаем решение (-∞;-4) ∪ (8;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 36 минут пройдёт 4 промежутков по 9 минут.
Тогда масса станет равна 200·(\(\frac{1}{2}\))^4 = 12,5 мг.
Ответ: 12,5.
Ответ: 12,5
15Треугольники и их элементы1 балл
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 37°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
BH — высота, значит BH ⟂ AC.
Угол между AB и AC равен 37°.
Тогда угол между AB и BH равен 90° - 37° = 53°.
Ответ: 53.
Ответ: 53
16Окружность, круг и их элементы1 балл
В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 92°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.
Поэтому ∠AOB = 180° - 92° = 88°.
Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 88° / 2 = 44°.
Ответ: 44.
Ответ: 44
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 3 + 4 = 7.
S = 7 · 4 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 12 и 4.
Большая диагональ равна 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
2
Боковые стороны любой трапеции равны.
3
Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.
2) Неверно.
3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(52a-20b+30\), если \(\dfrac{4a-8b+3}{8a-4b+3}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(52a-20b\) и подставить.
Свежие фрукты содержат 87% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 22% воды, значит сухого вещества 78%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 49 кг сухих фруктов:
49 · 78/100 = 38,22 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 87% воды, значит сухого вещества 13%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,13·x = 38,22.
x = 38,22 / 0,13 = 294 кг.
Ответ: 294.
Правильный ответ: 294
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+4x+4,& x\ge -3,\\-\dfrac{3}{x},& x<-3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[1;+∞).
Ответ: {0}∪[1;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[1;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 15, BF = 8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(15² + 8²) = √289 = 17.
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 8, BC = 4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.
Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.
BE — касательная: BE² = степень точки B.
Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).
Степень точки B: BE² = BC · BD.
Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 8 (вертикальная хорда).
BE² = BC · BD = 4 · 8 = 32.
BE = √32 = 4√2.
Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 4√2.
