Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 245/45 R18.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 265.
Ответ: 265
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 265/50 R17?
Решение
В маркировке 265/50 R17 ширина шины равна 265 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 265 · 50 / 100 = 132.5 мм. Ответ: 132.5.
Ответ: 132.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/35 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и нового колеса 265/35 R20. Ответ: 15.8.
Ответ: 15.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 245/45 R18 получаем диаметр 677.7 мм. Ответ: 677.7.
Ответ: 677.7
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/45 R18? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и колеса 265/45 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.7.
Ответ: 2.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} + \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} + \frac{1}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Какое из чисел расположено между числами \(-\frac{4}{1}\) и 0,55?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-4,48
2
\(-\frac{4}{5}\)
3
0,98
4
2,2
Решение
Сравним числа \(-\frac{4}{1}\) и 0,55. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(-\frac{4}{5}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} - 3)(\sqrt{12} + 3)$$
Решение
Вычислим выражение: (√12 - 3)(√12 + 3).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√12)² - 3² = 12 - 9 = 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-8}{x + 5} = 2$$
Решение
Решим уравнение: -8/(x + 5) = 2
Область допустимых значений: x != -5.
Умножим обе части уравнения на x + 5:
-8 = 2(x + 5)
Раскроем скобки:
-8 = 2x + 10
Перенесём число в левую часть:
-18 = 2x
x = -18 / 2
x = -9
Проверка ОДЗ: x = -9, x != -5, условие выполняется.
Ответ: -9
Ответ: -9
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 60 билетов, Саша не выучил 15 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 60.
Благоприятных исходов: 45 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{45}{60}\) = 0,75.
Ответ: 0,75.
Ответ: 0,75
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.
Ответ: 132
12Расчёты по формулам1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 3 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 205,8 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 205,8/(9,8·3) = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 8)(x - 7) < 0
1
(-∞;-8) ∪ (7;+∞)
2
(-∞;-8)
3
(-8;7)
4
[-8;+∞)
Решение
Нули выражения: x = -8 и x = 7. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 7 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 7) < 0 получаем решение (-8;7). Это вариант 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 16, d = -3.
Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 6.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 6·(16 + 1)/2 = 51.
Ответ: 51.
Ответ: 51
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 12, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.
Решение
Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.
Поэтому AM = AC : 2 = 12 : 2 = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 4.
Решение
Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 4 = 8.
S = a² = 8² = 64.
Ответ: 64.
Ответ: 64
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Сторона квадрата равна 4√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 4√2 · √2 = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 8.
Средняя линия равна 8 / 2 = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Существует квадрат, который не является прямоугольником.
2
Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3
Все диаметры окружности равны между собой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Шаг 3. ОДЗ: \(6-x\ge0\Rightarrow x\le6\). Значит \(x=8\) не подходит.
Ответ: \(-5\).
Правильный ответ: -5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 396 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 396 кг свежих фруктов:
396 · 14/100 = 55,44 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 23% воды, значит сухого вещества 77%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,77·x = 55,44.
x = 55,44 / 0,77 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=2-\dfrac{x-5}{x^2-5x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=2-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=5 \).
У функции \( y=2-\frac1x \) нет значений \( y=2 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=1,8 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=1,8; 2 \).
Ответ: 1,8; 2.
Правильный ответ: 1,8; 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 44, BC = 24, CF : DF = 7 : 3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 7:3 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 7:3 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 100 ⟹ a+b = 50.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·500/50 = 20.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=50 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=20:
a = 10, b = 40.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 20·\(\frac{10}{50}\) = 4.
