Загрузка заданий...

Вариант 1576 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

Ответ: 56

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

Ответ: 40

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин.

Ответ: 200.

Ответ: 200

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

Ответ: 1170

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$15 \cdot \frac{1}{20} \cdot \frac{3}{50}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $15 \cdot \frac{1}{20} \cdot \frac{3}{50}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(15) \cdot \frac{1}{20} = 0,75$.

Шаг 2: $(0,75) \cdot \frac{3}{50} = 0,045$.

Получили результат $0,045$.

Ответ: $0,045$.

Ответ: 0,045

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число 0,13?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число 0,13 по своему значению совпадает с точкой A.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^2)^3$$

Решение

Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^2)^3.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^3 = 7^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-3 · 7^6 = 7^3.

Получаем 7^3 = 343.

Ответ: 343.

Ответ: 343

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-5}{x - 3} = 5$$

Решение

Решим уравнение: -5/(x - 3) = 5

Область допустимых значений: x != 3.

Умножим обе части уравнения на x - 3:

-5 = 5(x - 3)

Раскроем скобки:

-5 = 5x - 15

Перенесём число в левую часть:

10 = 5x

x = 10 / 5

x = 2

Проверка ОДЗ: x = 2, x != 3, условие выполняется.

Ответ: 2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 30 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 882 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 882/(9,8·30) = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-5x + 8 ≥ -3x - 3

(-∞;-2,5]

[-5,5;+∞)

[0;+∞)

(-∞;5,5]

Решение

Решим неравенство: -5x + 8 >= -3x - 3.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x <= -11.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -2: x <= 5,5.

Значит, x меньше или равно 5,5.

Этому соответствует промежуток (-∞;5,5].

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,2 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 3,2 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 25 см = 0,25 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 37°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение

BH — высота, значит BH ⟂ AC.

Угол между AB и AC равен 37°.

Тогда угол между AB и BH равен 90° - 37° = 53°.

Ответ: 53.

Ответ: 53

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 69°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 69° = 21°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 21°.

Ответ: 21.

Ответ: 21

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 268°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Значит сумма равных углов равна 268°, каждый из них равен 134°.

Искомый угол: 46°.

Ответ: 46.

Ответ: 46

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2+y=9,\\3x^2-y=11.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(2x^2+y)+(3x^2-y)=9+11\Rightarrow 5x^2=20$.

Шаг 2. $x^2=4\Rightarrow x=\pm2$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=9-2x^2=9-8=1$.

Ответ: $(-2;\,1);\ (2;\,1)$.

Правильный ответ: (-2;1);(2;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 18 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 10 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 10) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 4 км.

Длина круга = x + 4 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 18 мин назад, то есть за (1 − $\frac{18}{60}$) = 0,7 ч.

Длина круга = (x + 10) · 0,7 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 4 = (x + 10) · 0,7.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 10 км/ч.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+2x+1,& x\ge -2,\\x+6,& x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪(1;4).

Ответ: {0}∪(1;4).

Правильный ответ: {0}∪(1;4)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 18, DC = 90, AC = 72.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.

Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = $\frac{18}{90}$ = $\frac{1}{5}$.

Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 5.

Одна «часть» = AC / (5+1) = 72 / 6 = 12.

Шаг 3. MC = 5 · 12 = 60.

Ответ: 60.

Правильный ответ: 60

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.

Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):

∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.

Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 28 и 4, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 15² = 225, AD·BC = 28·4 = 112.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.