Загрузка заданий...

Вариант 1595 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

Ответ: 2413

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

Ответ: 2

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

Ответ: 1247.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

Ответ: 1250

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{8} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{8} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{8}) \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{20}$.

Шаг 2: $(\frac{9}{20}) + \frac{2}{1} = \frac{49}{20}$.

Получили дробь $\frac{49}{20}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2,45$.

Ответ: $2,45$.

Ответ: 2,45

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-1,119

$\frac{1}{2}$

$\sqrt{2}$

2,1

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -2 и -1.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -1,119 ≈ -1,119

2) $\frac{1}{2}$ ≈ 0,5

3) $\sqrt{2}$ ≈ 1,4142

4) 2,1 ≈ 2,1

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{70}$$

Решение

Вычислим выражение: 4√7 · 2√10 · √70.

Перемножим коэффициенты: 4 · 2 = 8.

Подкоренные выражения дают: √7 · √10 · √70 = √(7·10·70) = √(4900) = 70.

Тогда всё выражение равно 8 · 70 = 560.

Ответ: 560.

Ответ: 560

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 6x - 16 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 6x - 16 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -6, c = -16.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -6² - 4·1·-16 = 100.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (6 - √100) / 2 = -2

x₂ = (6 + √100) / 2 = 8

Ответ: -2;8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события B.

Решение

Всего исходов: 40. Вероятность события B равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=12/40=0,3$.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 10-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 10 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(10 − 5) = 205.

Ответ: 205.

Ответ: 205

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 4x < 0

x² - 4x > 0

x² - 16 < 0

x² - 16 > 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 320, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 6-го уже меньше.

Ответ: 6.

Ответ: 6

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 12√3 · √3 / 2 = 12·3 / 2 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.

∠AOB = 2 · 53° = 106°.

Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.

Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.

∠AOD = 180° - 106° = 74°.

Ответ: 74.

Ответ: 74

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 21°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.

Биссектриса делит угол A пополам.

Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 21° = 42°.

Ответ: 42.

Ответ: 42

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}x^2+3y^2=31,\\2x^2+6y^2=31x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 2.

Шаг 1. Умножаем первое на 2: $2x^2+6y^2=62$.

Шаг 2. По второму: $2x^2+6y^2=31x$.

Шаг 3. Приравниваем правые части:

$62=31x\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. Подставляем $x=2$:

$4+3y^2=31\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm3$.

Ответ: $(2;\,-3);\ (2;\,3)$.

Правильный ответ: (2;-3);(2;3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.

По течению: 15 + x. Против течения: 15 − x.

Шаг 2. Составляем уравнение:

140/(15+x) + 11 + 140/(15−x) = 32.

Шаг 3. Переносим стоянку: 140/(15+x) + 140/(15−x) = 21.

Шаг 4. Умножаем на (15+x)(15−x) = 225−x²:

140(15−x) + 140(15+x) = 21(225−x²).

Шаг 5. Левая часть: 2·140·15 = 4200. Квадратное уравнение относительно x.

Шаг 6. Решение: x = 5.

Шаг 7. Проверка: 7 + 11 + 14 = 32. ✓

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| - 4\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x - 4.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x - 4.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -4. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -4.

Проверка: при m = -4 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -4.

Правильный ответ: -4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и 120. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(27² + 120²) = √15129 = 123.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 27·120/2 = 1620.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 123·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 123·h/2 = 1620 ⟹ h = 27·120/123 = 1080/41.

Ответ: 1080/41.

Правильный ответ: 1080/41

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.

Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).

Шаг 2. Прямая через O пересекает BC в точке L и AD в точке N.

Центральная симметрия переводит BC в AD и L в N (так как O — центр).

Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит CL = AN. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √7/4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 12 · 21 = 252.

AT = √252.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 9 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{7}{4}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.