Загрузка заданий...

Вариант 1600 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	санузел	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 4, санузел — 7, спальня — 5, гостиная — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, санузел, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 4758.

Ответ: 4758

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 30 см на 40 см продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в кладовой?

Решение

По плану площадь покрытия кладовой составляет 24 клетки.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 24 · 0,64 = 15,36 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,3 · 0,4 = 0,12 кв. м.

Нужно элементов: 15,36 / 0,12 = 128.

В одной упаковке 8 штук, значит понадобится 16 упаковок.

Ответ: 16.

Ответ: 16

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь гостиной. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м.

Значит, площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.

Ответ: 98,56.

Ответ: 98,56

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь санузла больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 36 клеток, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((36 − 24) / 24) · 100% = 50%.

Ответ: 50.

Ответ: 50

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «600»	650 руб. за 600 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб
План «900»	820 руб. за 900 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб
План «Безлимитный»	950 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 1000 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 1000 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 1000 Мб:

План «600»: 650 + 400 · 2 = 1 450 руб.

План «900»: 820 + 100 · 1,5 = 970 руб.

План «Безлимитный»: 950 руб.

Самым дешёвым оказывается План «Безлимитный»: 950 руб.

Ответ: 950.

Ответ: 950

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} : \frac{1}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) : \frac{1}{1} = \frac{1}{1}$.

Получили дробь 1.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1$.

Ответ: $1$.

Ответ: 1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от 0,6 до $\frac{77}{25}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

2,95

$-\frac{3}{2}$

$-\frac{59}{25}$

$-\frac{17}{4}$

Решение

Сравним числа 0,6 и $\frac{77}{25}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (2,95) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3^{-1} \cdot (3^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 3^(-1) · (3^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^2)^2 = 3^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-1 · 3^4 = 3^3.

Получаем 3^3 = 27.

Ответ: 27.

Ответ: 27

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{4}{x - 6} = -2$$

Решение

Решим уравнение: 4/(x - 6) = -2

Область допустимых значений: x != 6.

Умножим обе части уравнения на x - 6:

4 = -2(x - 6)

Раскроем скобки:

4 = -2x + 12

Перенесём число в левую часть:

-8 = -2x

x = -8 / -2

x = 4

Проверка ОДЗ: x = 4, x != 6, условие выполняется.

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $\overline{A} \cup B$.

Решение

Всего исходов: 40. Вероятность события $\overline{A} \cup B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=32/40=0,8$.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = -x^2 + 4x - 3$

В) $y = \dfrac{1}{3}x + 2$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 17, sinα = 0,083, а S = 9,917.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·9,917/(17·0,083) = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x + 2,5 \geqslant -4,9 \\ 4x − 2,4 < 25,6 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-7,4;7). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 21 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 21, d = -2.

Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 11.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(21 + 1)/2 = 121.

Ответ: 121.

Ответ: 121

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Катеты прямоугольного треугольника равны 60 и 80. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000.

Значит, c = 100.

Ответ: 100.

Ответ: 100

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 8√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

Если a = 8√2, то d = 8√2 · √2 = 16.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

R = d / 2 = 16 / 2 = 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 20, а tg ∠BCA = 0,1. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 20 · 0,1 = 2.

S = AC · BD / 2 = 20 · 2 / 2 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=5: t=(5−1)/(7−1)=$\frac{2}{3}$. x_A=1+$\frac{2}{3}$·3=3... нет, считаем по клеткам: A=(2,5), B=(6,5). AB=4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Все углы ромба равны.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Любые два равносторонних треугольника подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $51a-21b+22$, если $\dfrac{3a-6b+2}{6a-3b+2}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $51a-21b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-6b+2 = 9(6a-3b+2)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-6b+2 = 54a-27b+18$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 51a-21b+16$, откуда $51a-21b = -16$.

Шаг 4. Вычисляем: $51a-21b+22 = -16+22 = 6$.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/36 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/99 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/36 + S/99) = 2 / ($\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{99}$).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·36·99 / (36 + 99) = 7128 / 135 = 52,8 км/ч.

Ответ: 52,8.

Правильный ответ: 52,8

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -6. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -6.

Проверка: при m = -6 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -6.

Правильный ответ: -6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 45, BC = 18, CF : DF = 5 : 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 5:4 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 5:4 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (4·18 + 5·45) / (5+4).

Шаг 3. EF = (72 + 225) / 9 = 297 / 9 = 33.

Ответ: 33.

Правильный ответ: 33

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 39 и CD = 6 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.

Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.

По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.

⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.

Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).

α + β = 60°.

Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.

AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.

Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).

При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.

AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).

Шаг 5. 39² + 6² + 39·6 = 3R².

1791 = 3R² ⟹ R² = 1791/3.

R = √597.

Ответ: √597.

Правильный ответ: √597

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.