Загрузка заданий...

Вариант 1635 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,3 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	санузел	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 6, кладовая — 3, санузел — 4, гостиная — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, санузел, гостиная.

Следовательно, ответ: 6347.

Ответ: 6347

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 15 см на 60 см продаётся в упаковках по 14 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол на кухне?

Решение

По плану площадь покрытия кухни составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,3 · 0,3 = 0,09 кв. м, поэтому площадь равна 72 · 0,09 = 6,48 кв. м.

Площадь одной доски: 0,15 · 0,6 = 0,09 кв. м.

Нужно элементов: 6,48 / 0,09 = 72.

В одной упаковке 14 штук, значит понадобится 6 упаковок.

Ответ: 6.

Ответ: 6

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь спальни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 88 клеток.

Площадь одной клетки: 0,3 · 0,3 = 0,09 кв. м.

Значит, площадь равна 88 · 0,09 = 7,92 кв. м.

Ответ: 7,92.

Ответ: 7,92

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади санузла?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 36) / 36) · 100% = 300%.

Ответ: 300.

Ответ: 300

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с фронтальной загрузкой, по глубине не превосходящую 42 см.

Решение

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель Б: 24 000 + 4 500 + доставка: 10% от 24 000 = 2 400 руб. = 30 900 руб.

Модель В: 25 000 + 5 000 + доставка: 10% от 25 000 = 2 500 руб. = 32 500 руб.

Модель З: 20 000 + 6 300 + доставка: 15% от 20 000 = 3 000 руб. = 29 300 руб.

Модель И: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.

Наименьшая стоимость у модели И: 28 800 руб.

Ответ: 28 800.

Ответ: 28800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 \cdot 1,2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,2 \cdot 1,2$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,2) \cdot 1,2 = 0,24$.

Ответ: $0,24$.

Ответ: 0,24

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -3 и -2,4?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{14}{5}$

$2\sqrt{3}$

$-\frac{9}{4}$

-4,1

Решение

Сравним числа -3 и -2,4. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 ($-\frac{14}{5}$) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{7})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (5√7)².

Используем свойство степени произведения: (5√7)² = 5² · (√7)².

Получаем 25 · 7 = 175.

Ответ: 175.

Ответ: 175

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + 6y = -60 \\ 3x - 8y = 54 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

x + 6y = -60

3x - 8y = 54

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на 1.

Получим:

$(x + 6y = -60) \cdot 3$: 3x + 18y = -180

$(3x - 8y = 54) \cdot 1$: 3x - 8y = 54

Вычтем второе уравнение из первого:

26y = -234

y = -234 / 26 = -9

Подставим y = -9 в первое уравнение:

x + 6y = -60

Получаем x = -6.

Ответ: (-6;-9)

Ответ: -6;-9

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 174 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 26 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 26/200 = 0,13.

Ответ: 0,13.

Ответ: 0,13

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a < 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 1 053 Вт, а сила тока равна 9 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 1 053/(9²) = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

6x ≤ 7x - 9

[-9;+∞)

[9;+∞)

(-∞;0]

(-∞;9]

Решение

Решим неравенство: 6x <= 7x - 9.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x >= -9.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -1: x >= 9.

Значит, x больше или равно 9.

Этому соответствует промежуток [9;+∞).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 16, d = 2, n = 10.

Сначала найдём последний ряд: a10 = 16 + (10 - 1)·2 = 34.

Сумма первых 10 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 10·(16 + 34)/2 = 250.

Ответ: 250.

Ответ: 250

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 10, sin ∠ABC = 1/3. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 6 · 10 · $\frac{1}{3}$ = $\frac{60}{6}$ = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 113°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 113° / 2 = 56,5°.

Ответ: 56,5.

Ответ: 56,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В ромбе ABCD угол ABC равен 134°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение

В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, угол C равен 180° - 134° = 46°.

Диагональ AC биссектрисой угла C.

Поэтому ∠ACD = 46° / 2 = 23°.

Ответ: 23.

Ответ: 23

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=5: t=(8−5)/(8−2)=$\frac{1}{2}$. x_A=1+$\frac{1}{2}$·3=2,5, x_B=4+$\frac{1}{2}$·3=5,5. AB=3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x-2}$ — сводим к квадратному.

Шаг 1. После замены $\frac{1}{(x-2)^2}=t^2$. Уравнение:

$t^2-t-6=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-2$.

Шаг 3. Обратная замена. Из $\frac{1}{x-2}=t$ получаем $x=2+\frac{1}{t}$.

Если $t=3$: $x-2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}$.

Если $t=-2$: $x-2=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne2$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{3}{2};\quad \dfrac{7}{3}$.

Правильный ответ: 3/2;7/3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 3 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 3) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 260/(x−3) мин, второй — 260/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:

260/(x−3) − 260/x = 6.

Шаг 4. Умножаем на x(x−3):

260·x − 260·(x−3) = 6·x·(x−3).

780 = 6·x² − 18·x.

6x² − 18x − 780 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·6·780 = 324 + 18720 = 19044, √D = 138.

x = (18 + 138) / (2·6) = 13 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 260/10 = 26 мин, вторая — 260/13 = 20 мин.

26 − 20 = 6 = 6. ✓

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+0,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1; 1; 1,25 $.

Ответ: $ -1; 1; 1,25 $.

Правильный ответ: -1; 1; 1,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 18, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.

Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. KP/BC = AP/AB.

По условию BC в 1,8 раза меньше AB, то есть AB = 1,8·BC.

KP = AP · BC/AB = AP / 1,8 = 18 / 1,8 = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.

Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).

Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$, BD/AD = $\frac{8}{32}$ = $\frac{1}{4}$.

BD² = 8² = 64 = 2·32 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.

Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).

По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 48 и 24, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 13² = 169, AD·BC = 48·24 = 1152.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 19,5.

Ответ: 19,5.

Правильный ответ: 19,5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.