Загрузка заданий...
Вариант 1637 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,3 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | санузел | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 6, кладовая — 3, санузел — 4, гостиная — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, санузел, гостиная.
Следовательно, ответ: 6347.
Ответ: 6347
2
Задание 2
1 балл
Плитка для пола размером 30 см на 30 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол на кухне?
Решение
По плану площадь покрытия кухни составляет 72 клетки.
Площадь одной клетки: 0,3 · 0,3 = 0,09 кв. м, поэтому площадь равна 72 · 0,09 = 6,48 кв. м.
Площадь одной плитки: 0,3 · 0,3 = 0,09 кв. м.
Нужно элементов: 6,48 / 0,09 = 72.
В одной упаковке 12 штук, значит понадобится 6 упаковок.
Ответ: 6.
Ответ: 6
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь спальни. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 88 клеток.
Площадь одной клетки: 0,3 · 0,3 = 0,09 кв. м.
Значит, площадь равна 88 · 0,09 = 7,92 кв. м.
Ответ: 7,92.
Ответ: 7,92
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади санузла?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 36 клеток.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 36) / 36) · 100% = 300%.
Ответ: 300.
Ответ: 300
5
Задание 5
1 балл
| Модель | Вместимость барабана (кг) | Тип загрузки | Стоимость (руб.) | Стоимость подключения (руб.) | Стоимость доставки (% от стоимости машины) | Габариты (высота × ширина × глубина, см) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | 7 | верт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Б | 5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| В | 5 | фронт. | 25 000 | 5 000 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| Г | 6,5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 44 |
| Д | 6 | фронт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Е | 6 | верт. | 27 600 | 2 300 | бесплатно | 89 × 60 × 40 |
| Ж | 6 | верт. | 27 585 | 1 900 | 10 | 89 × 60 × 40 |
| З | 6 | фронт. | 20 000 | 6 300 | 15 | 85 × 60 × 42 |
| И | 5 | фронт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
| К | 5 | верт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с фронтальной загрузкой, по глубине не превосходящую 42 см.
Решение
Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.
Модель Б: 24 000 + 4 500 + доставка: 10% от 24 000 = 2 400 руб. = 30 900 руб.
Модель В: 25 000 + 5 000 + доставка: 10% от 25 000 = 2 500 руб. = 32 500 руб.
Модель З: 20 000 + 6 300 + доставка: 15% от 20 000 = 3 000 руб. = 29 300 руб.
Модель И: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.
Наименьшая стоимость у модели И: 28 800 руб.
Ответ: 28 800.
Ответ: 28800
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} + \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).
Получили дробь \(\frac{3}{2}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,5\).
Ответ: \(1,5\).
Ответ: 1,5
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число 0,98?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число 0,98 по своему значению совпадает с точкой B.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{18}$$
Решение
Вычислим выражение: 4√3 · 2√6 · √18.
Перемножим коэффициенты: 4 · 2 = 8.
Подкоренные выражения дают: √3 · √6 · √18 = √(3·6·18) = √(324) = 18.
Тогда всё выражение равно 8 · 18 = 144.
Ответ: 144.
Ответ: 144
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 5x - 4y = 5 \\ 3x + 2y = -19 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
5x - 4y = 5
3x + 2y = -19
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на 5.
Получим:
\((5x - 4y = 5) \cdot 3\): 15x - 12y = 15
\((3x + 2y = -19) \cdot 5\): 15x + 10y = -95
Вычтем второе уравнение из первого:
-22y = 110
y = 110 / -22 = -5
Подставим y = -5 в первое уравнение:
5x - 4y = 5
Получаем x = -3.
Ответ: (-3;-5)
Ответ: -3;-5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 50 карманных фонариков, поступивших в продажу, 3 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 47 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{47}{50}\) = 0,94.
Ответ: 0,94.
Ответ: 0,94
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = -2x - 3\)
Б) \(y = x\)
В) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.
Ответ: 321
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 350 Вт, а сила тока равна 5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 350/(5²) = 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-x + 5 ≤ 4x + 5
Решение
Решим неравенство: -x + 5 <= 4x + 5.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -5x >= 0.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -5: x >= 0.
Значит, x больше или равно 0.
Этому соответствует промежуток [0;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 15, d = 2, n = 11.
Сначала найдём последний ряд: a11 = 15 + (11 - 1)·2 = 35.
Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(15 + 35)/2 = 275.
Ответ: 275.
Ответ: 275
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 9/10, AB = 60. Найдите BC.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 60 · \(\frac{9}{10}\) = 54.
Ответ: 54.
Ответ: 54
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 60°, AB = 12√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
По теореме синусов AB = 2R·sin C.
Следовательно, R = AB / (2 sin 60°).
Подстановка даёт R = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Периметр ромба равен 28, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Сторона ромба равна 28 / 4 = 7.
Площадь ромба равна a²·sin α.
S = 7² · sin 30° = 7² · \(\frac{1}{2}\) = 24,5.
Ответ: 24,5.
Ответ: 24,5
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 4 и 2.
Искомое отношение площадей равно (4 / 2)² = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x^2+3y^2=31,\\2x^2+6y^2=31x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 2.
Шаг 1. Умножаем первое на 2: \(2x^2+6y^2=62\).
Шаг 2. По второму: \(2x^2+6y^2=31x\).
Шаг 3. Приравниваем правые части:
\(62=31x\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. Подставляем \(x=2\):
\(4+3y^2=31\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm3\).
Ответ: \((2;\,-3);\ (2;\,3)\).
Правильный ответ: (2;-3);(2;3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 26 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 217 км, скорость первого велосипедиста равна 21 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.
Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.
Шаг 2. Первый сделал остановку 26 мин = \(\frac{13}{30}\) ч, поэтому его время движения: t − \(\frac{13}{30}\).
Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:
21·(t − \(\frac{13}{30}\)) + 30·t = 217.
Шаг 4. Раскрываем: (21 + 30)·t = 217 + 21·\(\frac{13}{30}\) = 2261/10.
t = 2261/10 / 51 = 133/30 ч.
Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:
30 · 133/30 = 133 км.
Ответ: 133.
Правильный ответ: 133
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| - 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x - 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x - 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -3.
Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: -3.
Правильный ответ: -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 8, AC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
8² + r² = (10 − r)².
64 + r² = 100 − 20r + r².
20r = 100 − 64 = 36.
r = \(\frac{36}{20}\) = 1.8.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{36}{10}\) = 3,6.
Ответ: 3,6.
Правильный ответ: 3,6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 18.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
BF : FH = 5 : 4 (дано).
Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.
Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.
В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.
Шаг 3. Из отношения BF:FH = 5:4:
tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.
BF/FH = \(\frac{5}{4}\) ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = \(\frac{5}{4}\).
Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:
sin A = 2·4/(5+4) · ... = BC/(2R).
Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 18/(2·sin A) = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.