Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/60 R18.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 275.
Ответ: 275
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 285/50 R20?
Решение
В маркировке 285/50 R20 ширина шины равна 285 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 285 · 50 / 100 = 142.5 мм. Ответ: 142.5.
Ответ: 142.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 285/50 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/60 R18 и нового колеса 285/50 R20. Ответ: 17.8.
Ответ: 17.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/60 R18 получаем диаметр 775.2 мм. Ответ: 775.2.
Ответ: 775.2
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 285/50 R20? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/60 R18 и колеса 285/50 R20, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.
Ответ: 2.3
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,06 - 0,03 + 87,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,06 - 0,03 + 87,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,06) - 0,03 = 0,03\).
Шаг 2: \((0,03) + 87,5 = 87,53\).
Ответ: \(87,53\).
Ответ: 87,53
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу -3,6. Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
A
2
B
3
C
4
D
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число -3,6 по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 5)$$
Домножим обе части на НОК знаменателей 6 и 5, то есть на 30.
Получим:
(30x - 30) - (42x + 48) - 270x = 1050
Приведём подобные слагаемые:
-282x - 78 = 1050
Перенесём число в правую часть:
-282x = 1128
Разделим обе части на -282:
x = 1128 / -282
x = -4
Ответ: -4
Ответ: -4
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 40 билетов, Яша не выучил 14 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 26 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{26}{40}\) = 0,65.
Ответ: 0,65.
Ответ: 0,65
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = -2x - 4
Б) y = √x
В) y = -1x² - 2
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 17 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0002 и U = 17 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·17² / 2 = 0,0289.
Ответ: 0,0289.
Ответ: 0,0289
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1
x2 - 8x < 0
2
x2 - 8x > 0
3
x2 - 64 < 0
4
x2 - 64 > 0
Решение
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 21 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 40 мест, а в девятом ряду 46 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (46 - 40) / (9 - 7) = 3.
Тогда первый ряд: a₁ = a7 - (7 - 1)·d = 40 - 6·3 = 22.
Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 24 · 18 / 2 = 216.
Сторона ромба a = √((\(\frac{24}{2}\))² + (\(\frac{18}{2}\))²) = 15.
Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.
r = S / (2a) = 216 / (2·15) = 7,2.
Ответ: 7,2.
Ответ: 7,2
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.
Решение
При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.
Следовательно, меньшее основание равно 5 - 4 = 1.
Ответ: 1.
Ответ: 1
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 4 и 3.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
2
Все углы ромба равны.
3
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите неравенство: \((x-9)^2<\sqrt{2}(x-9)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-9)\).
Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 31 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 31 кг сухих фруктов:
31 · 84/100 = 26,04 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 88% воды, значит сухого вещества 12%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,12·x = 26,04.
x = 26,04 / 0,12 = 217 кг.
Ответ: 217.
Правильный ответ: 217
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 8\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 8.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 8.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.
Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 63 и 87. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(87² − 63²) = √3600 = 60.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 63·\(\frac{60}{2}\) = 1890.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 87 и высоту h к ней: S = 87·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 63·\(\frac{60}{87}\) = 1260/29.
Ответ: 1260/29.
Правильный ответ: 1260/29
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √39/8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 16 · 39 = 624.
AT = √624.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 23 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{39}{8}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
