Загрузка заданий...

Вариант 28 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Задание 6 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{5} - \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2}$.
Последовательно выполняем действия (вычитание):
Шаг 1: $(\frac{3}{5}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$.
Получили дробь $\frac{1}{10}$.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,1$.
Ответ: $0,1$.

Ответ: 0,1

7 Задание 7 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами $-\frac{14}{5}$ и $\sqrt{3}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

4,875

-2,375

3,14

3,3

Решение

Сравним числа $-\frac{14}{5}$ и $\sqrt{3}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (-2,375) лежит между этими числами.
Ответ: 2

Ответ: 2

8 Задание 8 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{125} + \sqrt{5})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√125 + √5)·√5.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √125 = 5√5, √5 = 1√5.
Тогда получаем (5√5 + 1√5)·√5 = 6√5·√5.
Так как √5·√5 = 5, имеем 6·5 = 30.
Ответ: 30.

Ответ: 30

9 Уравнения 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x + 6y = 30 \\ -3x - 2y = -2 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:
-3x + 6y = 30
-3x - 2y = -2
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -3, а второе — на -3.
Получим:
(-3x + 6y = 30) \cdot -3: 9x - 18y = -90
(-3x - 2y = -2) \cdot -3: 9x + 6y = 6
Вычтем второе уравнение из первого:
-24y = -96
y = -96 / -24 = 4
Подставим y = 4 в первое уравнение:
-3x + 6y = 30
Получаем x = -2.
Ответ: (-2;4)

Ответ: -2;4

10 Задание 10 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события $\overline{A} \cap B$: 2.
$P=2/8=0,25$.
Ответ: 0,25

Ответ: 0,25

11 Задание 11 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = √x

Б) y = -1x² - 2

В) y = -2x - 4

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Задание 12 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 85,75 Вт, а сила тока равна 3,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 85,75/(3,5²) = 7.
Ответ: 7.

Ответ: 7

13 Задание 13 1 балл

Укажите решение неравенства:

6x - 9 ≥ 4x - 12

[-1,5;+∞)

(-∞;0]

(-∞;-0,3]

[-0,3;+∞)

Решение

Решим неравенство: 6x - 9 >= 4x - 12.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x >= -3.
Делим обе части на 2: x >= -1,5.
Значит, x больше или равно -1,5.
Этому соответствует промежуток [-1,5;+∞).
Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задание 14 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = 1/2.
Пороговая высота равна 15 см = 0,15 м.
После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.
Ответ: 6.

Ответ: 6

15 Задание 15 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике биссектриса совпадает с высотой.\nВысота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.\nПолучаем: 12√3 · √3 / 2 = 12·3 / 2 = 18.\nОтвет: 18.

Ответ: 18

16 Задание 16 1 балл

Сторона квадрата равна 14√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.\nЕсли a = 14√2, то d = 14√2 · √2 = 28.\nРадиус описанной окружности равен половине диагонали.\nR = d / 2 = 28 / 2 = 14.\nОтвет: 14.

Ответ: 14

17 Задание 17 1 балл

Сторона квадрата равна 4√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.\nd = 4√2 · √2 = 8.\nОтвет: 8.

Ответ: 8

18 Задание 18 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.\nПо клеткам их длины равны 12 и 6.\nБольшая диагональ равна 12.\nОтвет: 12.

Ответ: 12

19 Задание 19 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Любой квадрат является прямоугольником.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Задание 20 2 балла

Найдите значение выражения $25a-5b+22$, если $\dfrac{3a-7b+6}{7a-3b+6}=4$.

✏ Выполни решение на бумаге

Из условия:
$\dfrac{3a-7b+6}{7a-3b+6}=4$, значит $3a-7b+6=4(7a-3b+6)$.
Получаем $3a-7b+6=28a-12b+24$,
откуда $25a-5b+18=0$, то есть $25a-5b=-18$.
Тогда $25a-5b+22=-18+22=4$.
Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 21. Текстовые задачи 2 балла

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

✏ Выполни решение на бумаге

Пусть встреча произошла через t часов после выезда.
Тогда первый велосипедист был в движении t - 0,6 ч, а второй — t ч.
Составим уравнение: 28(t - 0,6) + 10t = 82.
Получаем t = 2,6 ч.
Тогда расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи равно 10·2,6 = 26 км.
Ответ: 26.

Правильный ответ: 26

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 22. Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=x^2-7x-3|x-5|+10\]

Определите, при каких значениях m прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Раскрываем модуль на промежутках x < r и x ≥ r. Получаются две части парабол, склеенные в точке x = r. Ровно три пересечения возникают на уровнях, проходящих через вершины соответствующих частей графика: m = -9; 0. Ответ: -9; 0.

Правильный ответ: -9; 0

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 23. Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

В трапеции углы A и B при боковой стороне являются односторонними, их сумма равна 180°. Поэтому их биссектрисы взаимно перпендикулярны, и треугольник AFB прямоугольный. Тогда AB = √(AF² + BF²) = √(24² + 18²) = 30. Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 24. Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

✏ Выполни решение на бумаге

Проведём радиусы к точкам касания внутренней общей касательной. Эти радиусы перпендикулярны касательной, поэтому они параллельны между собой. Точка пересечения внутренней касательной с линией центров является центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Коэффициент этой гомотетии равен отношению расстояний от этой точки до центров окружностей, то есть m:n. При гомотетии радиусы и диаметры изменяются в том же отношении. Следовательно, диаметры окружностей относятся как m:n.

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 25. Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.

✏ Выполни решение на бумаге

Если середина M стороны AD равноудалена от всех вершин, то M — центр окружности, описанной около четырёхугольника, а AD — её диаметр. Используя вписанные углы B и C, находим центральный угол, соответствующий хорде BC, и затем диаметр окружности по формуле BC = AD·sin φ. Для данных чисел получаем AD = 8√3. Ответ: 8√3.

Правильный ответ: 8√3

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2