Загрузка заданий...

Вариант 27 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	яблони	теплица	гараж
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.

Ответ: 7352

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

На все дорожки нужно 28 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈28 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.

Ответ: 5

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?

Решение

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	25 000 руб.	17 552 руб.	1,3 куб. м/ч	5,2 руб./куб. м
Электр. отопление	21 000 руб.	15 000 руб.	5,2 кВт	4,1 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.

Ответ: 450

6 Задание 6 1 балл

Найдите значение выражения $$0,012 + 0,09$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,012 + 0,09$.
Последовательно выполняем действия (сложение):
Шаг 1: $(0,012) + 0,09 = 0,102$.
Ответ: $0,102$.

Ответ: 0,102

7 Задание 7 1 балл

Одно из чисел -2,122, $\frac{-19}{12}$, $\frac{\sqrt{8}}{2}$, $\frac{11}{3}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,122

$\frac{-19}{12}$

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

$\frac{11}{3}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -2,122 ≈ -2,122
2) $\frac{-19}{12}$ ≈ -1,5833
3) $\frac{\sqrt{8}}{2}$ ≈ 1,4142
4) $\frac{11}{3}$ ≈ 3,6667
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Задание 8 1 балл

Найдите значение выражения $$2\sqrt{11} \cdot 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{33}$$

Решение

Вычислим выражение: 2√11 · 5√3 · √33.
Перемножим коэффициенты: 2 · 5 = 10.
Подкоренные выражения дают: √11 · √3 · √33 = √(11·3·33) = √(1089) = 33.
Тогда всё выражение равно 10 · 33 = 330.
Ответ: 330.

Ответ: 330

9 Уравнения 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 14x + 49 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x<sup>2</sup> - 14x + 49 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -14, c = 49.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -14² - 4·1·49 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = 14 / 2 = 7
Ответ: 7

Ответ: 7

10 Задание 10 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,35.
Ответ: 0,35

Ответ: 0,35

11 Задание 11 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = -1x² + 4x - 3

Б) y = 1/x

В) y = 0.3333333333333333x + 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Задание 12 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,4 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,4 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,4 = 3 920.
Ответ: 3 920.

Ответ: 3 920

13 Задание 13 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 25 ≤ 0

(-5;5)

[-5;5]

(-∞;-5) ∪ (5;+∞)

(-∞;-5] ∪ [5;+∞)

Решение

Решаем x² - 25 <= 0. Нули: x = -5 и x = 5. Верное решение: [-5;5]. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задание 14 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 4 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 4, q = 3.
За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 4·3^4 = 324 мг.
Ответ: 324.

Ответ: 324

15 Задание 15 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, AB = 5. Найдите cos B.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.\nДля угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.\ncos B = BC / AB = 3/5 = 0,6.\nОтвет: 0,6.

Ответ: 0,6

16 Задание 16 1 балл

Сторона квадрата равна 32√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.\nЕсли a = 32√2, то d = 32√2 · √2 = 64.\nРадиус описанной окружности равен половине диагонали.\nR = d / 2 = 64 / 2 = 32.\nОтвет: 32.

Ответ: 32

17 Задание 17 1 балл

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 29°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.\nВ этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.\nСледовательно, острый угол равен 2 · 29° = 58°.\nОтвет: 58.

Ответ: 58

18 Задание 18 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 12 и 4.
Искомое отношение площадей равно (12 / 4)² = 9.
Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Задание 19 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все хорды одной окружности равны между собой.

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.
Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Задание 20 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}3x^2+2y^2=50,\\12x^2+8y^2=50x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Умножим первое уравнение на 4: $12x^2+8y^2=200$.
По второму имеем $12x^2+8y^2=50x$.
Получаем $200=50x$, значит $x=4$.
Тогда $3\cdot16+2y^2=50\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1$.
Ответ: $(4;-1);\ (4;1)$.

Правильный ответ: (4;-1);(4;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 21. Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 108 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Так как пройдены равные расстояния, средняя скорость находится по формуле гармонического среднего:
v_ср = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) = 2·84·108/(84+108).
Получаем v_ср = 94,5 км/ч.
Ответ: 94,5.

Правильный ответ: 94,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 22. Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=\dfrac{(1/4x^2+1/4x)|x|}{x+1}\]

Определите, при каких значениях m прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Числитель содержит множитель x+1, поэтому при x ≠ -1 функция упрощается до y = 1/4x|x|. Но точка x = -1 исключена из области определения. Соответствующее значение y равно 1/4·(-1)·|-1| = -1/4. Поэтому прямая y = -1/4 не имеет общих точек с графиком. Ответ: -1/4.

Правильный ответ: -1/4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 23. Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 6, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Так как точки K, P, B и C лежат на одной окружности, треугольники AKP и ABC подобны. Следовательно, KP/BC = AK/AC. Так как AC = 1,5·BC, получаем KP = AK / 1,5. Значит KP = 6 / 1,5 = 4. Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 24. Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

У треугольников AB₁C₁ и ABC общий угол при вершине A. Так как BB₁ и CC₁ — высоты, то соответствующие стороны образуют равные углы с помощью перпендикулярных прямых. Значит, есть две пары равных углов, поэтому треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 25. Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Так как O — центр вписанной окружности треугольника ABC, расстояние от O до AC равно радиусу вписанной окружности. Используя также расстояние от O до AD и OA, восстанавливаем высоту и основание параллелограмма, после чего находим площадь. Для данных значений площадь равна 720. Ответ: 720.

Правильный ответ: 720

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2