Загрузка заданий...

Вариант 41 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

Ответ: 1243

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна 1/32 м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

Ответ: 312.5

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

Ответ: 150

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A1 равна половине площади A0: 1/2 м². Масса одного листа: 120 · 1/2 = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

Ответ: 4800

6 Задание 6 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{7}{4} + \frac{9}{4} - 0,4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{7}{4} + \frac{9}{4} - 0,4$.
Последовательно выполняем действия (сложение, вычитание):
Шаг 1: $(\frac{7}{4}) + \frac{9}{4} = 4$.
Шаг 2: $(4) - 0,4 = 3,6$.
Получили результат $3,6$.
Ответ: $3,6$.

Ответ: 3,6

7 Задание 7 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

-a < -5

-a < -6

a < 5

Решение

По чертежу видно, что 5 < a < 6.
Проверим варианты ответа:
1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.
2) -a < -5 ⇔ a > 5 — верно.
3) -a < -6 ⇔ a > 6 — неверно.
4) a < 5 ⇔ a < 5 — неверно.
Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Задание 8 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{2} - 4)(\sqrt{2} + 4)$$

Решение

Вычислим выражение: (√2 - 4)(√2 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√2)² - 4² = 2 - 16 = -14.
Ответ: -14.

Ответ: -14

9 Уравнения 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{4}{x - 2} = 4$$

Решение

Решим уравнение: 4/(x - 2) = 4
Область допустимых значений: x != 2.
Умножим обе части уравнения на x - 2:
4 = 4(x - 2)
Раскроем скобки:
4 = 4x - 8
Перенесём число в левую часть:
12 = 4x
x = 12 / 4
x = 3
Проверка ОДЗ: x = 3, x != 2, условие выполняется.
Ответ: 3

Ответ: 3

10 Задание 10 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события B.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,4.
Ответ: 0,4

Ответ: 0,4

11 Задание 11 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = -2x - 4

Б) y = √x

В) y = -1x² - 2

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Задание 12 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 7,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 450 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 450/(7,5²) = 8.
Ответ: 8.

Ответ: 8

13 Задание 13 1 балл

Укажите решение неравенства:

-9x + 2 < x + 6

(0,5;+∞)

(-0,4;+∞)

(-∞;-0,8)

(-∞;-0,4)

Решение

Решим неравенство: -9x + 2 < x + 6.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -10x > 4.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -10: x > -0,4.
Значит, x больше -0,4.
Этому соответствует промежуток (-0,4;+∞).
Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задание 14 1 балл

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 16, d = 2, n = 12.
Сначала найдём последний ряд: a12 = 16 + (12 - 1)·2 = 38.
Сумма первых 12 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 12·(16 + 38)/2 = 324.
Ответ: 324.

Ответ: 324

15 Задание 15 1 балл

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 67, сторона BC равна 70, сторона AC равна 74. Найдите MN.

Решение

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией.\nСредняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.\nПоэтому MN = AC : 2 = 74 : 2 = 37.\nОтвет: 37.

Ответ: 37

16 Задание 16 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 48°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.\n∠C = 180° - 48° = 132°.\nОтвет: 132.

Ответ: 132

17 Задание 17 1 балл

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 32°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.\nВ этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.\nСледовательно, острый угол равен 2 · 32° = 64°.\nОтвет: 64.

Ответ: 64

18 Задание 18 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.\nПо клеткам основание равно 8, высота равна 5.\nS = 8 · 5 / 2 = 20.\nОтвет: 20.

Ответ: 20

19 Задание 19 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.
2) Неверно: тангенс острого угла может быть больше 1.
3) Верно.
Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Задание 20 2 балла

Найдите значение выражения $28a-7b+40$, если $\dfrac{2a-5b+7}{5a-2b+7}=6$.

✏ Выполни решение на бумаге

Из условия:
$\dfrac{2a-5b+7}{5a-2b+7}=6$, значит $2a-5b+7=6(5a-2b+7)$.
Получаем $2a-5b+7=30a-12b+42$,
откуда $28a-7b+35=0$, то есть $28a-7b=-35$.
Тогда $28a-7b+40=-35+40=5$.
Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 21. Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго равна x + 8 км/ч.
За 1 час первый пробежал x км, а длина круга равна x + 1 км, так как ему оставалось 1 км.
Второй пробежал круг за 0,6666666667 ч, значит длина круга также равна (x + 8)·0,6666666667.
Составим уравнение: x + 1 = (x + 8)·0,6666666667.
Решая его, получаем x = 13.
Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 22. Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=\left|x^2-25\right|\]

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

✏ Выполни решение на бумаге

Под модулем стоит квадратный трёхчлен с двумя различными корнями: -5 и 5. Часть параболы ниже оси Ox отражается вверх. В результате горизонтальная прямая может пересечь график максимум в четырёх точках. Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 23. Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 14.

✏ Выполни решение на бумаге

В данной конфигурации хорда PK окружности с диаметром BH равна высоте BH. Следовательно, BH = PK = 14. Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 24. Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.

✏ Выполни решение на бумаге

В параллелограмме соседние углы в сумме дают 180°, поэтому их биссектрисы взаимно перпендикулярны. Используя равенство противоположных сторон и равенство расстояний от точки биссектрисы до сторон угла, получаем, что точка L делит сторону AB на два равных отрезка. Следовательно, L — середина AB.

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 25. Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √39/8.

✏ Выполни решение на бумаге

Центр окружности, касающейся луча AB, находится на прямой, параллельной AB на расстоянии радиуса. Так как окружность проходит через M и N, её центр лежит на серединном перпендикуляре к MN. Совмещая эти два условия и используя cos∠BAC, получаем радиус. Для AM = 16, AN = 39 ответ равен 12,8. Ответ: 12,8.

Правильный ответ: 12,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2