Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
гараж
баня
жилой дом
яблони
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: гараж — 2, баня — 4, жилой дом — 7, яблони — 3.
В таблице объекты стоят в порядке: гараж, баня, жилой дом, яблони.
Получаем последовательность: 2473.
Ответ: 2473
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 4 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 4 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 4⌉ = 7 упаковок.
Ответ: 7.
Ответ: 7
3Задание 31 балл
Найдите площадь открытого грунта огорода (вне теплицы). Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Площадь огорода равна 120 кв. м, площадь теплицы — 12 кв. м. Площадь открытого грунта: 120 - 12 = 108 кв. м.
Ответ: 108.
Ответ: 108
4Задание 41 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?
Решение
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью теплицы: (48 - 12) / 12 · 100% = 300%.
Ответ: 300.
Ответ: 300
5Задание 51 балл
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
22 000 руб.
20 105 руб.
1,5 куб. м/ч
4,9 руб./куб. м
Электр. отопление
19 000 руб.
16 000 руб.
4,9 кВт
4,4 руб./(кВт·ч)
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 42105 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 35000 руб.
Разница в начальных расходах: 42105 - 35000 = 7105 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,5 · 4,9 = 7,35 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,4 = 21,56 руб./ч.
Экономия за час: 21,56 - 7,35 = 14,21 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7105 / 14,21 = 500.
Ответ: 500.
Ответ: 500
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{50} \cdot 7,5 : \frac{3}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{50} \cdot 7,5 : \frac{3}{10}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{50}) \cdot 7,5 = 0,45\).
Шаг 2: \((0,45) : \frac{3}{10} = 1,5\).
Получили результат \(1,5\).
Ответ: \(1,5\).
Ответ: 1,5
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-0,539
2
\(\frac{\sqrt{19}}{2}\)
3
\(\frac{44}{13}\)
4
\(\sqrt{20}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -0,539 ≈ -0,539
2) \(\frac{\sqrt{19}}{2}\) ≈ 2,1794
3) \(\frac{44}{13}\) ≈ 3,3846
4) \(\sqrt{20}\) ≈ 4,4721
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(3\sqrt{3})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (3√3)².
Используем свойство степени произведения: (3√3)² = 3² · (√3)².
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -3, а второе — на 5.
Получим:
\((5x + 3y = 56) \cdot -3\): -15x - 9y = -168
\((-3x + 3y = 0) \cdot 5\): -15x + 15y = 0
Вычтем второе уравнение из первого:
-24y = -168
y = -168 / -24 = 7
Подставим y = 7 в первое уравнение:
5x + 3y = 56
Получаем x = 7.
Ответ: (7;7)
Ответ: 7;7
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события \(A \cap \overline{B}\): 3.
\(P=3/8=0,375\).
Ответ: 0,375
Ответ: 0,375
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k > 0, b > 0
Б) k > 0, b < 0
В) k < 0, b > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,05 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Подставим V = 0,05 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,05 = 490.
Ответ: 490.
Ответ: 490
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 0,7 \geqslant -4,5 \\ x − 0,5 \geqslant -6,4 \end{cases}$$
1
[-3,2;+∞)
2
(-∞;-5,2]
3
[-5,2;+∞)
4
(-∞;-5,2) ∪ (-3,2;+∞)
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-5,2;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 5 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 5, q = 3.
За 150 минут пройдёт 5 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 5·3^5 = 1215 мг.
Ответ: 1215.
Ответ: 1215
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 7/6, BC = 18. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.
Значит, AC = BC · tg B = 18 · \(\frac{7}{6}\) = 21.
Ответ: 21.
Ответ: 21
16Окружность, круг и их элементы1 балл
В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно 4√3/3. Найдите сторону треугольника.
Решение
Расстояние от центра описанной окружности равностороннего треугольника до стороны равно радиусу вписанной окружности r.
Для равностороннего треугольника a = 2r√3.
Подставляя r = 4√\(\frac{3}{3}\), получаем a = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 74°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 154°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?
Решение
Угол между диагональю AC и основанием AD равен 154° - (180° - 74°).
Получаем 154 - 106 = 48°.
Так как основания параллельны, угол с меньшим основанием такой же.
Ответ: 48.
Ответ: 48
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 8 и 4.
Искомое отношение площадей равно (8 / 4)² = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
2
Боковые стороны любой трапеции равны.
3
Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Идея: числитель \(-17<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+3)^2-7<0\).
Шаг 2. \((x+3)^2<7\).
Шаг 3. \(-\sqrt{7}<x+3<\sqrt{7}\).
Шаг 4. Вычитаем 3: \(-3-\sqrt{7}<x<-3+\sqrt{7}\).
Ответ: \((-3-\sqrt{7};\; -3+\sqrt{7})\).
Правильный ответ: (-3-√7;-3+√7)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 60 кг получается раствор с концентрацией 33%:
40·x + 20·y = 60·0,33 = 19,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 47%:
(x + y)/2 = 0,47 ⟹ x + y = 0,94 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,94 − x. Подставляем в (1):
40·x + 20·(0,94 − x) = 19,8
40x + 18,8 − 20x = 19,8
20x = 1 ⟹ x = 0,05.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 40·0,05 = 2 кг.
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+6,25,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-5; 5; 7,25 \).
Ответ: \( -5; 5; 7,25 \).
Правильный ответ: -5; 5; 7,25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 36, AC = 84, NC = 40.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
