Загрузка заданий...

Вариант 487 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.

Стоимость (руб.)	15 000	19 500	18 000
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.

Ответ: 321

2 Задание 2 1 балл

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.

Ответ: 7.7

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.

Ответ: 4500

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.

Ответ: 17550

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

По рисунку половина ширины кожуха равна 30 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 40 см. Радиус: R = √(30² + 40²) = √2500 = 50 см. Ответ: 50.

Ответ: 50

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,375 + \frac{3}{25} + \frac{3}{50}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,375 + \frac{3}{25} + \frac{3}{50}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,375) + \frac{3}{25} = 0,495$.

Шаг 2: $(0,495) + \frac{3}{50} = 0,555$.

Получили результат $0,555$.

Ответ: $0,555$.

Ответ: 0,555

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -3,7 и 3,9?
В ответе укажите номер правильного варианта.

4,9

$2\sqrt{5}$

-0,275

-3,975

Решение

Сравним числа -3,7 и 3,9. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-0,275) лежит между этими числами.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{3})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (5√3)².

Используем свойство степени произведения: (5√3)² = 5² · (√3)².

Получаем 25 · 3 = 75.

Ответ: 75.

Ответ: 75

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 6x = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 6x = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 6, c = 0.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 6² - 4·1·0 = 36.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-6 - √36) / 2 = -6

x₂ = (-6 + √36) / 2 = 0

Ответ: -6;0

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) y = 0,5x + 4

2) y = 2x + 3

3) y = -1x + 3

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 325 Вт, а сила тока равна 5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 325/(5²) = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 2)(x - 8) ≥ 0

(-∞;-2] ∪ [8;+∞)

[-2;+∞)

(-∞;-2)

(-∞;8]

Решение

Нули выражения: x = -2 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 8) >= 0 получаем решение (-∞;-2] ∪ [8;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 3.

Найдём 9-й член: a9 = a₁ + (9 - 1)·d = 17 + 8·3 = 41.

Ответ: 41.

Ответ: 41

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 102°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.

Поэтому он равен 180° - 102° = 78°.

Ответ: 78.

Ответ: 78

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 82°, угол CAD равен 34°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 82°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 82° + 34° = 116°.

Ответ: 116.

Ответ: 116

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 29°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.

Следовательно, острый угол равен 2 · 29° = 58°.

Ответ: 58.

Ответ: 58

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 6 и 8.

m = (6 + 8) / 2 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-10<0$, поэтому дробь $\ge0$ только когда знаменатель отрицателен.

(При нулевом знаменателе дробь не определена — такие точки исключаются.)

Шаг 1. Ставим условие на знаменатель: $(x-3)^2-5<0$.

Шаг 2. Переносим: $(x-3)^2<5$.

Шаг 3. Извлекаем корень: $-\sqrt{5}<x-3<\sqrt{5}$.

Шаг 4. Прибавляем 3 ко всем частям: $3-\sqrt{5}<x<3+\sqrt{5}$.

Ответ: $(3-\sqrt{5};\; 3+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: [3-√5;3+√5]

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 87% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 22% воды, значит сухого вещества 78%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 49 кг сухих фруктов:

49 · 78/100 = 38,22 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 87% воды, значит сухого вещества 13%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,13·x = 38,22.

x = 38,22 / 0,13 = 294 кг.

Ответ: 294.

Правильный ответ: 294

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{5x-8}{5x^2-8x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=8/5 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=8/5 $, откуда $ k=25/64 $.

Ответ: $\frac{25}{64}$.

Правильный ответ: 25/64

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 62, BC = 20, CF : DF = 4 : 3.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 4:3 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 4:3 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (3·20 + 4·62) / (4+3).

Шаг 3. EF = (60 + 248) / 7 = 308 / 7 = 44.

Ответ: 44.

Правильный ответ: 44

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. O₁X = O₁Y (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка O₁ равноудалена от X и Y

⟹ O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY.

Шаг 2. O₂X = O₂Y (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка O₂ тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая O₁O₂ совпадает с серединным перпендикуляром к XY.

Следовательно, O₁O₂ ⟂ XY. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 3 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 4. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 3 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 5 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·3 = 6.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 168.

Ответ: 168.

Правильный ответ: 168

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.