Загрузка заданий...

Вариант 56 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	баня	гараж	теплица
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.

Получаем последовательность: 7425.

Ответ: 7425

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 10⌉ = 7 упаковок.

Ответ: 7.

Ответ: 7

3 Задание 3 1 балл

Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.

Решение

По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.

Решение

Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.

Ответ: 29.

Ответ: 29

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	20 000 руб.	15 370 руб.	1,6 куб. м/ч	4,9 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	14 000 руб.	4,9 кВт	4,2 руб./(кВт·ч)

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.

Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.

Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.

Ответ: 500.

Ответ: 500

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,7 : 3,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,7 : 3,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,7) : 3,5 = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

Ответ: 0,2

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

3 - a > 0

2 - a > 0

a - 3 > 0

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

По чертежу видно, что 2 < a < 3.

Проверим варианты ответа:

1) 3 - a > 0 ⇔ a < 3 — верно.

2) 2 - a > 0 ⇔ a < 2 — неверно.

3) a - 3 > 0 ⇔ a > 3 — неверно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4^{-2} \cdot (4^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 4^(-2) · (4^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-2 · 4^4 = 4^2.

Получаем 4^2 = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-3x + 5)}{2} - \frac{(-7x)}{8} - 6x = -24$$

Решение

Решим уравнение: (-3x + 5)/2 - (-7x)/8 - 6x = -24

Домножим обе части на НОК знаменателей 2 и 8, то есть на 8.

Получим:

(-12x + 20) - (-7x + 0) - 48x = -192

Приведём подобные слагаемые:

-53x + 20 = -192

Перенесём число в правую часть:

-53x = -212

Разделим обе части на -53:

x = -212 / -53

x = 4

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 28 чёрных, 1 жёлтых и 11 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 1 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{1}{40}$ = 0,025.

Ответ: 0,025.

Ответ: 0,025

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) y = 3x - 2

2) y = 0,5x + 2

3) y = -3x + 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 25 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = 25 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(25) + 32 = 77.

Ответ: 77.

Ответ: 77

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x + 0,3 < -2,7 \\ 5x − 0,3 > 34,7 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 640 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 42 минут пройдёт 6 промежутков по 7 минут.

Тогда масса станет равна 640·($\frac{1}{2}$)^6 = 10 мг.

Ответ: 10.

Ответ: 10

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 13. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 6 · 13 = $\frac{78}{2}$ = 39.

Ответ: 39.

Ответ: 39

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 36° = 54°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 54°.

Ответ: 54.

Ответ: 54

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Сторона ромба равна 36 / 4 = 9.

Площадь ромба равна a²·sin α.

S = 9² · sin 30° = 9² · $\frac{1}{2}$ = 40,5.

Ответ: 40,5.

Ответ: 40,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 3 и 4.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}x^2+y=5,\\6x^2-y=2.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сложим оба уравнения, чтобы $y$ сократился.

Шаг 1. Складываем уравнения:

$(x^2+y)+(6x^2-y)=5+2\Rightarrow 7x^2=7$.

Шаг 2. Отсюда $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$ из первого уравнения:

$y=5-x^2=5-1=4$ (одинаково для обоих $x$).

Ответ: $(-1;\,4);\ (1;\,4)$.

Правильный ответ: (-1;4);(1;4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 500/100 = 5 ч,

t₂ = 100/50 = 2 ч,

t₃ = 165/55 = 3 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 500 + 100 + 165 = 765 км.

Шаг 3. Общее время: 5 + 2 + 3 = 10 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 765 / 10 = 76,5 км/ч.

Ответ: 76,5.

Правильный ответ: 76,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| - 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x - 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x - 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -2.

Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -2.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 11, CK = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 11.

Шаг 3. BC = BK + CK = 11 + 18 = 29.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(11 + 29) = 80.

Ответ: 80.

Правильный ответ: 80

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка L — середина стороны AB. Докажите, что DL — биссектриса угла ADC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. AB = 2·AD (по условию), L — середина AB.

Значит AB/2 = AD/2 ... нет: AB = AB, AB/2 = AD.

Шаг 2. В параллелограмме AD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном DL и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ DL — биссектриса угла ADC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 17. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 806,4.

Ответ: 806,4.

Правильный ответ: 806,4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.