Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
Мобильный интернет
2 ГБ
2,5 ГБ
4 ГБ
3,5 ГБ
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 31242.
Ответ: 31242
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
Ответ: 575
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
Ответ: 2
4Задание 41 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
Ответ: 75
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
430 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
180 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
Ответ: 430
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,6 \cdot 3,75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,6 \cdot 3,75\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,6) \cdot 3,75 = 2,25\).
Ответ: \(2,25\).
Ответ: 2,25
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число -3,791?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
A
2
B
3
C
4
D
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число -3,791 по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(4\sqrt{3})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (4√3)².
Используем свойство степени произведения: (4√3)² = 4² · (√3)².
Домножим обе части на НОК знаменателей 2 и 6, то есть на 6.
Получим:
(-9x + 12) - (2x - 5) + 48x = 276
Приведём подобные слагаемые:
37x + 17 = 276
Перенесём число в правую часть:
37x = 259
Разделим обе части на 37:
x = 259 / 37
x = 7
Ответ: 7
Ответ: 7
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 40 чашек: 16 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 24 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{24}{40}\) = 0,6.
Ответ: 0,6.
Ответ: 0,6
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = -1x² + 2x + 3
Б) y = 1/x
В) y = 1.6666666666666667x - 1
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 96 Вт, а сила тока равна 4 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;5]. Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -9° C.
Решение
Температура уменьшается равномерно на 6° C в минуту.
Через 9 минут изменение составит 6·9 = 54° C.
Итоговая температура: -9 - 54 = -63.
Ответ: -63.
Ответ: -63
15Треугольники и их элементы1 балл
Высота равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 9√3.
Отсюда a / 2 = 9, значит a = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 6√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
Значит, a = 3R / √3 = 3 · 6√3 / √3 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 30, а tg ∠BCA = 0,4. Найдите площадь ромба.
Решение
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.
Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 30 · 0,4 = 12.
S = AC · BD / 2 = 30 · 12 / 2 = 180.
Ответ: 180.
Ответ: 180
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 8, высота равна 5.
S = 8 · 5 / 2 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Все углы ромба равны.
2
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите неравенство: \((7-x)(x^2-49)\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: разложить \(x^2-49\) и \((7-x)\) через \((x-7)\), собрать в одно выражение.
Шаг 1. Разложения: \(x^2-49=(x-7)(x+7)\) и \(7-x=-(x-7)\).
Шаг 3. Неравенство принимает вид: \(-(x-7)^2(x+7)\ge0\).
Шаг 4. Делим на \(-1\) — знак меняется: \((x-7)^2(x+7)\le0\).
Шаг 5. Анализ: \((x-7)^2\ge0\) всегда.
Произведение \(\le0\) при двух условиях:
а) \(x+7\le0\) и \((x-7)^2>0\), то есть \(x\le-7\) (и \(x\ne7\), что выполнено);
б) \((x-7)^2=0\), то есть \(x=7\) (тогда произведение равно нулю).
Ответ: \((-\infty;\;-7]\cup\{7\}\).
Правильный ответ: (-∞;-7]∪{7}
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 70 кг получается раствор с концентрацией 73%:
40·x + 30·y = 70·0,73 = 51,1 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 72%:
(x + y)/2 = 0,72 ⟹ x + y = 1,44 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 1,44 − x. Подставляем в (1):
40·x + 30·(1,44 − x) = 51,1
40x + 43,2 − 30x = 51,1
10x = 7,9 ⟹ x = 0,79.
y = 1,44 − 0,79 = 0,65.
Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 30·0,65 = 19,5 кг.
Ответ: 19,5.
Правильный ответ: 19,5
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 3. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 3.
Проверка: при m = 3 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin30°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 12 · sin120°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin30° = 12 · sin120°.
AB = 12 · sin120°/sin30° (здесь sin120°/sin30° = √3).
AB = 12√3.
Ответ: 12√3.
Правильный ответ: 12√3
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка M равноудалена от S и T
⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.
Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.
Следовательно, MN ⟂ ST. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 100 ⟹ a+b = 50.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·500/50 = 20.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=50 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=20:
a = 10, b = 40.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 20·\(\frac{10}{50}\) = 4.
