Загрузка заданий...

Вариант 57 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	яблони	теплица	гараж
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.

Ответ: 7352

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

На все дорожки нужно 28 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈28 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.

Ответ: 5

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?

Решение

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	25 000 руб.	17 552 руб.	1,3 куб. м/ч	5,2 руб./куб. м
Электр. отопление	21 000 руб.	15 000 руб.	5,2 кВт	4,1 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.

Ответ: 450

6 Задание 6 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{3}{4} : \frac{2}{9}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} : \frac{3}{4} : \frac{2}{9}$.
Последовательно выполняем действия (деление, деление):
Шаг 1: $(\frac{1}{1}) : \frac{3}{4} = \frac{4}{3}$.
Шаг 2: $(\frac{4}{3}) : \frac{2}{9} = \frac{6}{1}$.
Получили дробь 6.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби $6$.
Ответ: $6$.

Ответ: 6

7 Задание 7 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\frac{52}{15}$. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число $\frac{52}{15}$ по своему значению совпадает с точкой D.
Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Задание 8 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{18}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√6 · 4√3 · √18.
Перемножим коэффициенты: 5 · 4 = 20.
Подкоренные выражения дают: √6 · √3 · √18 = √(6·3·18) = √(324) = 18.
Тогда всё выражение равно 20 · 18 = 360.
Ответ: 360.

Ответ: 360

9 Уравнения 1 балл

Решите уравнение: 2 + 4(-x + 7) = -3x + 29

Решение

Решим уравнение: 2 + 4(-x + 7) = -3x + 29
Раскроем скобки:
2 + 4(-x + 7) = -3x + 29
2 - 4x + 28 = -3x + 29
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-4x + 30 = -3x + 29
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
-x = -1
Разделим обе части на -1:
x = -1 / -1
x = 1
Ответ: 1

Ответ: 1

10 Задание 10 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 15 чёрных, 12 жёлтых и 3 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 30.
Благоприятных исходов: 12 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 12/30 = 0,4.
Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

11 Задание 11 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

3) y = 0,5x + 3

2) y = 0,5x + 4

1) y = -0,5x + 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Задание 12 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 243 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 243/(4,5²) = 12.
Ответ: 12.

Ответ: 12

13 Задание 13 1 балл

Укажите решение неравенства:

x + 5 < 2x - 4

(9;+∞)

(-3;+∞)

(-∞;0)

(-∞;-3)

Решение

Решим неравенство: x + 5 < 2x - 4.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x > -9.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -1: x > 9.
Значит, x больше 9.
Этому соответствует промежуток (9;+∞).
Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задание 14 1 балл

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 2, n = 14.
Сначала найдём последний ряд: a14 = 17 + (14 - 1)·2 = 43.
Сумма первых 14 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 14·(17 + 43)/2 = 420.
Ответ: 420.

Ответ: 420

15 Задание 15 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 7. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.\nS = 1/2 · 6 · 7 = 42/2 = 21.\nОтвет: 21.

Ответ: 21

16 Задание 16 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 48°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.\nВ треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 48° = 42°.\nУглы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.\nСледовательно, ∠NMB = 42°.\nОтвет: 42.

Ответ: 42

17 Задание 17 1 балл

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 39°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.\nВ этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.\nСледовательно, острый угол равен 2 · 39° = 78°.\nОтвет: 78.

Ответ: 78

18 Задание 18 1 балл

На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM короче отрезка BM?

Решение

Точка M делит сторону треугольника в указанном отношении, что видно по клеткам.\nBM = 3·AM.\nОтвет: 3.

Ответ: 3

19 Задание 19 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.
2) Неверно: вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.
3) Неверно.
Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Задание 20 2 балла

Найдите значение выражения $31a-4b+55$, если $\dfrac{a-4b+7}{4a-b+7}=8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Из условия:
$\dfrac{a-4b+7}{4a-b+7}=8$, значит $a-4b+7=8(4a-b+7)$.
Получаем $a-4b+7=32a-8b+56$,
откуда $31a-4b+49=0$, то есть $31a-4b=-49$.
Тогда $31a-4b+55=-49+55=6$.
Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 21. Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 204 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Масса сухого вещества при сушке не меняется. В свежих фруктах сухое вещество составляет 14%, то есть 204 · 14 / 100 = 28.56 кг. В высушенных фруктах сухого вещества 84%, значит масса сухих фруктов равна 28.56 : 0.84 = 34 кг. Ответ: 34.

Правильный ответ: 34

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 22. Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=\dfrac{(1x^2+4x)|x|}{x+4}\]

Определите, при каких значениях m прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Числитель содержит множитель x+4, поэтому при x ≠ -4 функция упрощается до y = 1x|x|. Но точка x = -4 исключена из области определения. Соответствующее значение y равно 1·(-4)·|-4| = -16. Поэтому прямая y = -16 не имеет общих точек с графиком. Ответ: -16.

Правильный ответ: -16

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 23. Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 4, CK = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Биссектриса угла A параллелограмма отсекает на стороне BC отрезок BK, равный стороне AB. Значит AB = BK = 4, а BC = BK + CK = 4 + 18 = 22. Периметр равен 2(AB + BC) = 2(4 + 22) = 52. Ответ: 52.

Правильный ответ: 52

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 24. Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы AA₁C₁ и ACC₁ равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Из условий AA₁ ⟂ BC и CC₁ ⟂ AB. Угол AA₁C₁ равен углу между прямой, перпендикулярной BC, и прямой AB. Угол ACC₁ равен углу между AC и прямой, перпендикулярной AB. Эти углы являются углами с взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому равны.

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 25. Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы. Используя перпендикулярность AD и BE, равенство их длин и свойство биссектрисы, получаем отношения сторон треугольника: √13 : 2√13 : 3√5. Так как общая длина медианы и биссектрисы равна 16 = 4·4, стороны равны 4√13; 8√13; 12√5. Ответ: 4√13; 8√13; 12√5.

Правильный ответ: 4√13; 8√13; 12√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2