Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 23.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/60 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.
Ответ: 245
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 245/60 R18?
Решение
В маркировке 245/60 R18 ширина шины равна 245 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 245 · 60 / 100 = 147 мм. Ответ: 147.
Ответ: 147
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/40 R19?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и нового колеса 275/40 R19. Ответ: 0.8.
Ответ: 0.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/60 R17 получаем диаметр 701.8 мм. Ответ: 701.8.
Ответ: 701.8
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/50 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и колеса 275/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.7.
Ответ: 0.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{8}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Найдите корни уравнения:
x2 + 8x + 16 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 8x + 16 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 8, c = 16.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 8² - 4·1·16 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = -8 / 2 = -4
Ответ: -4
Ответ: -4
10Статистика, вероятности1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 27 чёрных, 10 жёлтых и 3 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 10 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{10}{40}\) = 0,25.
Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 1/x
Б) y = 0.3333333333333333x + 2
В) y = -1x² + 4x - 3
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12Расчёты по формулам1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1600 кг обладает кинетической энергией 20 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 20·1000 = 20 000 Дж.
v = √(2·20 000/1600) = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-4x - 9 > -6x - 12
1
(-∞;-0,3)
2
(1,5;+∞)
3
(-∞;0)
4
(-1,5;+∞)
Решение
Решим неравенство: -4x - 9 > -6x - 12.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x > -3.
Делим обе части на 2: x > -1,5.
Значит, x больше -1,5.
Этому соответствует промежуток (-1,5;+∞).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 9 секунд движения?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,4, d = 0,5, n = 9.
Сумма первых 9 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 21,6.
Ответ: 21,6.
Ответ: 21,6
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 10√3 · √3 / 2 = 10·3 / 2 = 15.
Ответ: 15.
Ответ: 15
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 26. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 26 = 52.
Ответ: 52.
Ответ: 52
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 80°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 148°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?
Решение
Угол между диагональю AC и основанием AD равен 148° - (180° - 80°).
Получаем 148 - 100 = 48°.
Так как основания параллельны, угол с меньшим основанием такой же.
Ответ: 48.
Ответ: 48
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=5: t=(8−5)/(8−2)=\(\frac{1}{2}\). x_A=1+\(\frac{1}{2}\)·3=2,5, x_B=4+\(\frac{1}{2}\)·3=5,5. AB=3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Все квадраты имеют равные площади.
2
Основания равнобедренной трапеции равны.
3
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(51a-33b+34\), если \(\dfrac{5a-7b+3}{7a-5b+3}=8\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(51a-33b\) и подставить.
Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 81% воды, значит сухого вещества 19%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 420 кг свежих фруктов:
420 · 19/100 = 79,8 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 79,8.
x = 79,8 / 0,84 = 95 кг.
Ответ: 95.
Правильный ответ: 95
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 7\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 7.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 7.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 7.
Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 7.
Правильный ответ: 7
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 22, AC = 77, NC = 40.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{2}{7}\), то есть BN = 2·BC/7.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 40.
Подставляем: BN = 2·(BN + 40)/7.
7·BN = 2·BN + 2·40.
(7−2)·BN = 80 ⟹ BN = 80/(7−2) = 16.
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.
BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.
S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).
Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△APD) (общую часть):
S(△APB) = S(△CPD). ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 8 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 6, AB = 8, CD = 10, BC = 2.
