Загрузка заданий...
Вариант 73 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
Ответ: 2413
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
Ответ: 2
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
Ответ: 1247.4
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
Ответ: 840
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
Ответ: 1250
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} : \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{8}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) : \frac{4}{9} = \frac{9}{4}\).
Шаг 2: \((\frac{9}{4}) \cdot \frac{1}{8} = \frac{9}{32}\).
Получили дробь \(\frac{9}{32}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,28125\).
Ответ: \(0,28125\).
Ответ: 0,28125
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) 1,76 ≈ 1,76
2) \(\sqrt{5}\) ≈ 2,2361
3) \(\frac{38}{15}\) ≈ 2,5333
4) 2,81 ≈ 2,81
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^2 = 7^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-3 · 7^4 = 7^1.
Получаем 7^1 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x - 8y = 24 \\ -2x - 8y = 48 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
4x - 8y = 24
-2x - 8y = 48
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на 4.
Получим:
\((4x - 8y = 24) \cdot -2\): -8x + 16y = -48
\((-2x - 8y = 48) \cdot 4\): -8x - 32y = 192
Вычтем второе уравнение из первого:
48y = -240
y = -240 / 48 = -5
Подставим y = -5 в первое уравнение:
4x - 8y = 24
Получаем x = -4.
Ответ: (-4;-5)
Ответ: -4;-5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 12 чёрных, 2 жёлтых и 11 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 2 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{2}{25}\) = 0,08.
Ответ: 0,08.
Ответ: 0,08
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 0.8x + 2
Б) y = -2x² - 6x + 1
В) y = 0.1/x
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 158 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = 158 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(158 − 32)/9 = 70.
Ответ: 70.
Ответ: 70
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} -1,8 − 5x < 0,7 \\ x − 0,4 > -1,6 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-0,5;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 3.
Найдём 12-й член: a12 = a₁ + (12 - 1)·d = 20 + 11·3 = 53.
Ответ: 53.
Ответ: 53
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 11/8, BC = 24. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.
Значит, AC = BC · tg B = 24 · \(\frac{11}{8}\) = 33.
Ответ: 33.
Ответ: 33
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.
r = (12√3 · √3) / 6 = \(\frac{36}{6}\) = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Диагональ BD делит угол B на два данных угла.
Угол B равен 50° + 85° = 135°.
Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 135° = 45°.
Ответ: 45.
Ответ: 45
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 4 и 8.
m = (4 + 8) / 2 = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(66a-46b+49\), если \(\dfrac{6a-8b+6}{8a-6b+6}=9\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(66a-46b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(6a-8b+6 = 9(8a-6b+6)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(6a-8b+6 = 72a-54b+54\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 66a-46b+48\), откуда \(66a-46b = -48\).
Шаг 4. Вычисляем: \(66a-46b+49 = -48+49 = 1\).
Ответ: 1.
Правильный ответ: 1
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).
Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 10) км/ч.
Шаг 2. Время в пути туда и обратно (с остановкой) одинаково:
60/x = 60/(x+10) + 3.
Шаг 3. Переносим 60/(x+10) влево:
60/x − 60/(x+10) = 3.
Шаг 4. Умножаем на x·(x+10): 3x² + 30x − 600 = 0.
Шаг 5. D = 8100, √D = 90. x = (−30+90)/(2·3) = 10.
Шаг 6. Скорость на обратном пути: 10 + 10 = 20 км/ч.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=-5-\dfrac{x-1}{x^2-1x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=-5-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=1 \).
У функции \( y=-5-\frac1x \) нет значений \( y=-5 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=-6 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=-6; -5 \).
Ответ: -6; -5.
Правильный ответ: -6; -5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 16, BF = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(16² + 12²) = √400 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Шаг 1. Точка M лежит на биссектрисе угла A.
⟹ расстояние от M до обеих сторон угла A одинаково.
Шаг 2. Точка M лежит на биссектрисе угла D.
⟹ расстояние от M до обеих сторон угла D одинаково.
Шаг 3. Объединяя: расстояние от M до каждой из прямых AB, AD и CD одинаково. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 15. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).
Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.
Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.
Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).
Площадь = BC · h = ... = 924.
Ответ: 924.
Правильный ответ: 924
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.