Загрузка заданий...
Вариант 73 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Полина летом отдыхает у дедушки в деревне Ясная. В четверг они собираются съездить на велосипедах в село Майское в магазин. Из деревни Ясная в село Майское можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Камышёвка до деревни Хомяково, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Майское. Есть и третий маршрут: в деревню Камышёвка можно свернуть на прямую тропинку в село Майское, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Полина с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.
По шоссе Полина с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.
1
Задание 1
1 балл
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Населённые пункты | Хомяково | Майское | Камышёвка |
|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Ясная, промежуточная деревня на прямом шоссе — Камышёвка, место поворота на другое шоссе — Хомяково, конечный пункт — Майское.
Получаем соответствие: Ясная — 1, Камышёвка — 2, Хомяково — 3, Майское — 4.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Хомяково, Майское, Камышёвка.
Следовательно, ответ: 342.
Точка отправления Ясная, промежуточная деревня на прямом шоссе — Камышёвка, место поворота на другое шоссе — Хомяково, конечный пункт — Майское.
Получаем соответствие: Ясная — 1, Камышёвка — 2, Хомяково — 3, Майское — 4.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Хомяково, Майское, Камышёвка.
Следовательно, ответ: 342.
Ответ: 342
2
Задание 2
1 балл
Сколько километров проедут Дима с дедушкой от деревни Васильевка до села Плодородное, если они поедут по шоссе через деревню Рассвет?
Решение
По шоссе путь состоит из двух участков: от Васильевка до Рассвет и от Рассвет до Плодородное.
От Васильевка до Рассвет: 16 клеток · 3 км = 48 км.
От Рассвет до Плодородное: 12 клеток · 3 км = 36 км.
Складываем: 48 + 36 = 84 км.
Ответ: 84.
От Васильевка до Рассвет: 16 клеток · 3 км = 48 км.
От Рассвет до Плодородное: 12 клеток · 3 км = 36 км.
Складываем: 48 + 36 = 84 км.
Ответ: 84.
Ответ: 84
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от деревни Сосенки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 5 клеток.
Значит, катеты равны 48 км и 20 км.
Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 52 км.
Ответ: 52.
Значит, катеты равны 48 км и 20 км.
Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 52 км.
Ответ: 52.
Ответ: 52
4
Задание 4
1 балл
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ясная в село Майское Полина с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в деревню Камышёвка на прямую тропинку, которая проходит мимо пруда?
Решение
Первый участок — по шоссе от Ясная до Камышёвка: 22 км.
Время на первом участке: 22 / 20 · 60 = 66.0 мин.
Второй участок — по прямой от Камышёвка до Майское: 26 км.
Время на втором участке: 26 / 15 · 60 = 104.0 мин.
Общее время: 66.0 + 104.0 = 170,0 мин.
Ответ: 170,0.
Время на первом участке: 22 / 20 · 60 = 66.0 мин.
Второй участок — по прямой от Камышёвка до Майское: 26 км.
Время на втором участке: 26 / 15 · 60 = 104.0 мин.
Общее время: 66.0 + 104.0 = 170,0 мин.
Ответ: 170,0.
Ответ: 170,0
5
Задание 5
1 балл
| Наименование продукта | Дивная | Ольгино | Калиновка | Ровное |
|---|---|---|---|---|
| Молоко (1 л) | 57 | 41 | 49 | 43 |
| Хлеб (1 батон) | 37 | 35 | 26 | 22 |
| Сыр «Российский» (1 кг) | 273 | 274 | 279 | 270 |
| Говядина (1 кг) | 316 | 322 | 317 | 328 |
| Картофель (1 кг) | 17 | 26 | 23 | 20 |
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Дивная, селе Ольгино, деревне Калиновка и селе Ровное. Ваня с дедушкой хотят купить 3 л молока, 2 батона хлеба, 2 кг сыра «Российский», 1 кг говядины, 3 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Решение
Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:
Дивная: 3·57=171 + 2·37=74 + 1·316=316 + 3·17=51 + 2·273=546 = 1 158
Ольгино: 3·41=123 + 2·35=70 + 1·322=322 + 3·26=78 + 2·274=548 = 1 141
Калиновка: 3·49=147 + 2·26=52 + 1·317=317 + 3·23=69 + 2·279=558 = 1 143
Ровное: 3·43=129 + 2·22=44 + 1·328=328 + 3·20=60 + 2·270=540 = 1 101
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Ровное": 1 101 руб.
Ответ: 1 101.
Дивная: 3·57=171 + 2·37=74 + 1·316=316 + 3·17=51 + 2·273=546 = 1 158
Ольгино: 3·41=123 + 2·35=70 + 1·322=322 + 3·26=78 + 2·274=548 = 1 141
Калиновка: 3·49=147 + 2·26=52 + 1·317=317 + 3·23=69 + 2·279=558 = 1 143
Ровное: 3·43=129 + 2·22=44 + 1·328=328 + 3·20=60 + 2·270=540 = 1 101
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Ровное": 1 101 руб.
Ответ: 1 101.
Ответ: 1101
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$50 + 3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(50 + 3\).
Последовательно выполняем действия (сложение):
Шаг 1: \((50) + 3 = 53\).
Ответ: \(53\).
Последовательно выполняем действия (сложение):
Шаг 1: \((50) + 3 = 53\).
Ответ: \(53\).
Ответ: 53
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что 1 < a < 2.
Проверим варианты ответа:
1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.
2) 2 - a < 0 ⇔ a > 2 — неверно.
3) a > 1 ⇔ a > 1 — верно.
4) a < 1 ⇔ a < 1 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Проверим варианты ответа:
1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.
2) 2 - a < 0 ⇔ a > 2 — неверно.
3) a > 1 ⇔ a > 1 — верно.
4) a < 1 ⇔ a < 1 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2^{2} \cdot (2^2)^3$$
Решение
Вычислим выражение: 2^(2) · (2^2)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^2)^3 = 2^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^2 · 2^6 = 2^8.
Получаем 2^8 = 256.
Ответ: 256.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^2)^3 = 2^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^2 · 2^6 = 2^8.
Получаем 2^8 = 256.
Ответ: 256.
Ответ: 256
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 5 + 2(2x - 7) = 3x - 8
Решение
Решим уравнение: 5 + 2(2x - 7) = 3x - 8
Раскроем скобки:
5 + 2(2x - 7) = 3x - 8
5 + 4x - 14 = 3x - 8
Приведём подобные слагаемые в левой части:
4x - 9 = 3x - 8
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
x = 1
Разделим обе части на 1:
x = 1 / 1
x = 1
Ответ: 1
Раскроем скобки:
5 + 2(2x - 7) = 3x - 8
5 + 4x - 14 = 3x - 8
Приведём подобные слагаемые в левой части:
4x - 9 = 3x - 8
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
x = 1
Разделим обе части на 1:
x = 1 / 1
x = 1
Ответ: 1
Ответ: 1
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.
Решение
Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.
$P(B)=P(A)\\cdot P(B|A)+P(\\overline{A})\\cdot P(B|\\overline{A})=0.75\\cdot0.1+0.25\\cdot0.25=0,1375$.
Ответ: 0,1375
$P(B)=P(A)\\cdot P(B|A)+P(\\overline{A})\\cdot P(B|\\overline{A})=0.75\\cdot0.1+0.25\\cdot0.25=0,1375$.
Ответ: 0,1375
Ответ: 0,1375
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) y = -0,5x - 4
2) y = -0,5x
3) y = 2x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 60,5 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 60,5/(5,5²) = 2.
Ответ: 2.
R = 60,5/(5,5²) = 2.
Ответ: 2.
Ответ: 2
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 64 ≥ 0
Решение
Решаем x² - 64 >= 0. Нули: x = -8 и x = 8. Верное решение: (-∞;-8] ∪ [8;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем 1/2.
За 40 минут пройдёт 5 промежутков по 8 минут.
Тогда масса станет равна 400·(1/2)^5 = 12,5 мг.
Ответ: 12,5.
За 40 минут пройдёт 5 промежутков по 8 минут.
Тогда масса станет равна 400·(1/2)^5 = 12,5 мг.
Ответ: 12,5.
Ответ: 12,5
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 112°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.\nПоэтому он равен 180° - 112° = 68°.\nОтвет: 68.
Ответ: 68
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.\n∠AOB = 2 · 79° = 158°.\nТак как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.\nЗначит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.\n∠AOD = 180° - 158° = 22°.\nОтвет: 22.
Ответ: 22
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Диагональ BD делит угол B на два данных угла.\nУгол B равен 50° + 85° = 135°.\nТогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 135° = 35°.\nОтвет: 35.
Ответ: 35
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.\nИщем расстояние по теореме Пифагора.\nd = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.\nОтвет: 10.
Ответ: 10
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.
Ответ: 2.
2) Верно.
3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-1)^4-2(x-1)^2-3=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Сделаем замену \(t=(x-1)^2\). Тогда:
\(t^2-2t-3=0\).
\((t-3)(t+1)=0\), откуда \(t=3\) или \(t=-1\).
Подходит \(t=3\).
Тогда \((x-1)^2=3\), значит \(x=1\pm\sqrt3\).
Ответ: \(1-\sqrt3;\ 1+\sqrt3\).
\(t^2-2t-3=0\).
\((t-3)(t+1)=0\), откуда \(t=3\) или \(t=-1\).
Подходит \(t=3\).
Тогда \((x-1)^2=3\), значит \(x=1\pm\sqrt3\).
Ответ: \(1-\sqrt3;\ 1+\sqrt3\).
Правильный ответ: 1-√3;1+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 48 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 168 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
✏ Выполни решение на бумаге
Пусть встреча произошла через t часов после выезда.
Тогда первый велосипедист был в движении t - 0,8 ч, а второй — t ч.
Составим уравнение: 15(t - 0,8) + 30t = 168.
Получаем t = 4 ч.
Тогда расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи равно 30·4 = 120 км.
Ответ: 120.
Тогда первый велосипедист был в движении t - 0,8 ч, а второй — t ч.
Составим уравнение: 15(t - 0,8) + 30t = 168.
Получаем t = 4 ч.
Тогда расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи равно 30·4 = 120 км.
Ответ: 120.
Правильный ответ: 120
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=x^2-2x-2|x-2|\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Раскрываем модуль на промежутках x < r и x ≥ r. Получаются две части парабол, склеенные в точке x = r. Ровно три пересечения возникают на уровнях, проходящих через вершины соответствующих частей графика: m = -4; 0. Ответ: -4; 0.
Правильный ответ: -4; 0
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 27, AC = 63, NC = 36.
✏ Выполни решение на бумаге
Так как MN ∥ AC, треугольники BMN и BAC подобны. Коэффициент подобия MN/AC = 27/63 = 3/7. Значит BN/BC = 3/7, причём BC = BN + 36. Получаем BN/(BN + 36) = 3/7. Отсюда BN = 27. Ответ: 27.
Правильный ответ: 27
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Точки X и Y лежат на окружности с центром O₁, поэтому O₁X = O₁Y. Значит точка O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY. Аналогично O₂X = O₂Y, поэтому точка O₂ тоже лежит на этом серединном перпендикуляре. Следовательно, прямая O₁O₂ и есть серединный перпендикуляр к XY, значит O₁O₂ ⟂ XY.
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25 : 24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 14.
✏ Выполни решение на бумаге
Используем связь между биссектрисой, высотой из вершины B и синусом угла A. После выражения sin A через заданное отношение и применения формулы BC = 2R·sin A получаем R = 25. Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: