Загрузка заданий...
Вариант 72 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.
1
Задание 1
1 балл
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Населённые пункты | Старая | Николаево | Зябликово |
|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.
Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.
Следовательно, ответ: 432.
Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.
Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.
Следовательно, ответ: 432.
Ответ: 432
2
Задание 2
1 балл
Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?
Решение
По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.
От Осиновка до Старая: 16 клеток · 1 км = 16 км.
От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.
Складываем: 16 + 12 = 28 км.
Ответ: 28.
От Осиновка до Старая: 16 клеток · 1 км = 16 км.
От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.
Складываем: 16 + 12 = 28 км.
Ответ: 28.
Ответ: 28
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.
Значит, катеты равны 12 км и 16 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.
Ответ: 20.
Значит, катеты равны 12 км и 16 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.
Ответ: 20.
Ответ: 20
4
Задание 4
1 балл
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?
Решение
По прямой расстояние равно 20 км.
Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 20 / 10 ч.
В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.
Ответ: 120,0.
Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 20 / 10 ч.
В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.
Ответ: 120,0.
Ответ: 120,0
5
Задание 5
1 балл
| Наименование продукта | Осиновка | Николаево | Зябликово | Старая |
|---|---|---|---|---|
| Молоко (1 л) | 42 | 49 | 52 | 48 |
| Хлеб (1 батон) | 27 | 29 | 32 | 38 |
| Сыр «Российский» (1 кг) | 259 | 250 | 255 | 264 |
| Говядина (1 кг) | 328 | 318 | 324 | 319 |
| Картофель (1 кг) | 34 | 19 | 24 | 30 |
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Решение
Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:
Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216
Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147
Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199
Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.
Ответ: 1 147.
Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216
Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147
Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199
Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.
Ответ: 1 147.
Ответ: 1147
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$87,5 \cdot \frac{3}{25} : \frac{3}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(87,5 \cdot \frac{3}{25} : \frac{3}{8}\).
Последовательно выполняем действия (умножение, деление):
Шаг 1: \((87,5) \cdot \frac{3}{25} = 10,5\).
Шаг 2: \((10,5) : \frac{3}{8} = 28\).
Получили результат \(28\).
Ответ: \(28\).
Последовательно выполняем действия (умножение, деление):
Шаг 1: \((87,5) \cdot \frac{3}{25} = 10,5\).
Шаг 2: \((10,5) : \frac{3}{8} = 28\).
Получили результат \(28\).
Ответ: \(28\).
Ответ: 28
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -5 < a < -4.
Проверим варианты ответа:
1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.
2) a > -4 ⇔ a > -4 — неверно.
3) -5 - a > 0 ⇔ a < -5 — неверно.
4) a + 5 > 0 ⇔ a > -5 — верно.
Правильный ответ: 4.
Проверим варианты ответа:
1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.
2) a > -4 ⇔ a > -4 — неверно.
3) -5 - a > 0 ⇔ a < -5 — неверно.
4) a + 5 > 0 ⇔ a > -5 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{4} - 5)(\sqrt{4} + 5)$$
Решение
Вычислим выражение: (√4 - 5)(√4 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√4)² - 5² = 4 - 25 = -21.
Ответ: -21.
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√4)² - 5² = 4 - 25 = -21.
Ответ: -21.
Ответ: -21
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x - 3y = 21 \\ 6x - 2y = 14 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-3x - 3y = 21
6x - 2y = 14
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на -3.
Получим:
(-3x - 3y = 21) \cdot 6: -18x - 18y = 126
(6x - 2y = 14) \cdot -3: -18x + 6y = -42
Вычтем второе уравнение из первого:
-24y = 168
y = 168 / -24 = -7
Подставим y = -7 в первое уравнение:
-3x - 3y = 21
Получаем x = 0.
Ответ: (0;-7)
-3x - 3y = 21
6x - 2y = 14
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на -3.
Получим:
(-3x - 3y = 21) \cdot 6: -18x - 18y = 126
(6x - 2y = 14) \cdot -3: -18x + 6y = -42
Вычтем второе уравнение из первого:
-24y = 168
y = 168 / -24 = -7
Подставим y = -7 в первое уравнение:
-3x - 3y = 21
Получаем x = 0.
Ответ: (0;-7)
Ответ: 0;-7
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 192 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 8 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 8/200 = 0,04.
Ответ: 0,04.
Благоприятных исходов: 8 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 8/200 = 0,04.
Ответ: 0,04.
Ответ: 0,04
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 9,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 812,25 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 812,25/(9,5²) = 9.
Ответ: 9.
R = 812,25/(9,5²) = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 1)(x - 4) > 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -1 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 4) > 0 получаем решение (-∞;-1) ∪ (4;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 16 мест, а в восьмом ряду 19 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (19 - 16) / (8 - 5) = 1.
Тогда первый ряд: a₁ = a5 - (5 - 1)·d = 16 - 4·1 = 12.
Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 12 + 18·1 = 30.
Ответ: 30.
Разность прогрессии: d = (19 - 16) / (8 - 5) = 1.
Тогда первый ряд: a₁ = a5 - (5 - 1)·d = 16 - 4·1 = 12.
Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 12 + 18·1 = 30.
Ответ: 30.
Ответ: 30
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.\nc² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400.\nЗначит, c = 20.\nОтвет: 20.
Ответ: 20
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 16, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.\nПоэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:\ntg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 16 · 0,75 = 12.\nПлощадь ромба S = AC · BD / 2 = 16 · 12 / 2 = 96.\nСторона ромба a = √((16/2)² + (12/2)²) = 10.\nДля любого вписанного в окружность? Нет, для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр = 2a.\nr = S / (2a) = 96 / (2·10) = 4,8.\nОтвет: 4,8.
Ответ: 4,8
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 6 и 8, а высота равна 8. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.\nm = (6 + 8) / 2 = 7.\nОтвет: 7.
Ответ: 7
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.\nПо клеткам основание равно 7, высота равна 6.\nS = 7 · 6 / 2 = 21.\nОтвет: 21.
Ответ: 21
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((8-x)(x^2-64)\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
\((8-x)(x^2-64)=-(x-8)^2(x+8)\).
Следовательно, \((x-8)^2(x+8)\le0\).
Отсюда \(x\le -8\) или \(x=8\).
Ответ: \((-\infty;\ -8]\cup\{8\}\).
Следовательно, \((x-8)^2(x+8)\le0\).
Отсюда \(x\le -8\) или \(x=8\).
Ответ: \((-\infty;\ -8]\cup\{8\}\).
Правильный ответ: (-∞; -8]∪{8}
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
Тогда скорость по течению x + 5, против течения x - 5.
Составим уравнение: 56/(x + 5) + 54/(x - 5) = 5.
Подходит x = 23. Проверка: 56/28 = 2 ч, 54/18 = 3 ч, сумма 5 ч.
Ответ: 23.
Тогда скорость по течению x + 5, против течения x - 5.
Составим уравнение: 56/(x + 5) + 54/(x - 5) = 5.
Подходит x = 23. Проверка: 56/28 = 2 ч, 54/18 = 3 ч, сумма 5 ч.
Ответ: 23.
Правильный ответ: 23
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=|x|\,(x+1)-3x\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Раскрываем модуль отдельно при x ≥ 0 и x < 0. Получаются две части парабол. Граничные уровни, при которых горизонтальная прямая имеет ровно две общие точки, соответствуют вершинам этих частей: m = -(3-1)²/4 и m = (1+3)²/4. Ответ: -1; 4.
Правильный ответ: -1; 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Точка пересечения диагоналей ромба является центром вписанной окружности, поэтому данное расстояние равно радиусу вписанной окружности r. В этой серии задач диагональ равна 4r: 56 = 4·14. Такое соотношение соответствует ромбу с углами 60° и 120°. Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Так как AA₁ ⟂ BC и BB₁ ⟂ AC, углы AA₁B₁ и ABB₁ можно рассматривать как углы между соответственно перпендикулярными прямыми. Следовательно, эти углы равны.
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Радиусы, проведённые в точки касания общих внешних касательных, перпендикулярны этим касательным. Получается прямоугольная конфигурация, из которой расстояние между прямыми AB и CD равно 2√(Rr). Здесь Rr = 20·12, поэтому искомое расстояние равно 8√15. Ответ: 8√15.
Правильный ответ: 8√15
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: