Загрузка заданий...

Вариант 758 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,2 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 4, кладовая — 3, спальня — 8, кухня — 2.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 4382.

Ответ: 4382

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 20 см на 20 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,04 = 6,16 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.

Нужно элементов: 6,16 / 0,04 = 154.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 31 упаковка.

Ответ: 31.

Ответ: 31

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.

Ответ: 5,76.

Ответ: 5,76

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «800»	900 руб. за 800 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
План «1000»	1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:

План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.

План «1000»: 1 050 руб.

План «Безлимитный»: 1 100 руб.

Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.

Ответ: 1 000.

Ответ: 1000

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} + 3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{4} + 3$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{4}) + 3 = 3,25$.

Получили результат $3,25$.

Ответ: $3,25$.

Ответ: 3,25

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > 3

-a > -2

$\frac{1}{a} < 0$

a - 2 > 0

Решение

По чертежу видно, что 2 < a < 3.

Проверим варианты ответа:

1) a > 3 ⇔ a > 3 — неверно.

2) -a > -2 ⇔ a < 2 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) a - 2 > 0 ⇔ a > 2 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{9}$$

Решение

Вычислим выражение: 3√3 · 2√3 · √9.

Перемножим коэффициенты: 3 · 2 = 6.

Подкоренные выражения дают: √3 · √3 · √9 = √(3·3·9) = √(81) = 9.

Тогда всё выражение равно 6 · 9 = 54.

Ответ: 54.

Ответ: 54

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x - 7y = 60 \\ 2x - 7y = 44 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

4x - 7y = 60

2x - 7y = 44

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе — на 4.

Получим:

$(4x - 7y = 60) \cdot 2$: 8x - 14y = 120

$(2x - 7y = 44) \cdot 4$: 8x - 28y = 176

Вычтем второе уравнение из первого:

14y = -56

y = -56 / 14 = -4

Подставим y = -4 в первое уравнение:

4x - 7y = 60

Получаем x = 8.

Ответ: (8;-4)

Ответ: 8;-4

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 40 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{40}{50}$ = 0,8.

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k < 0, b < 0

Б) k > 0, b > 0

В) k < 0, b > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 4 с^-1, а центростремительное ускорение равно 8 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 8/(4²) = 0,5.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 2)(x - 1) > 0

(-∞;-2) ∪ (1;+∞)

[-2;1]

[-2;+∞)

(-∞;-2] ∪ [1;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -2 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 1) > 0 получаем решение (-∞;-2) ∪ (1;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 7 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -9° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 6° C в минуту.

Через 7 минут изменение составит 6·7 = 42° C.

Итоговая температура: -9 - 42 = -51.

Ответ: -51.

Ответ: -51

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 20° и AK = CK.

Решение

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 20°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·20° = 40°.

Тогда ∠B = 180° - 40° - 20° = 120°.

Ответ: 120.

Ответ: 120

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 40 = 80.

S = a² = 80² = 6400.

Ответ: 6400.

Ответ: 6400

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание, если высота равна 5, большее основание равно 15, а угол при основании равен 45°.

Решение

При угле 45° разность оснований равна двум высотам.

Меньшее основание равно 15 - 2·5 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 8, высота равна 5.

S = 8 · 5 / 2 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.

3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x-2}$ — сводим к квадратному.

Шаг 1. После замены $\frac{1}{(x-2)^2}=t^2$. Уравнение:

$t^2-t-6=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-2$.

Шаг 3. Обратная замена. Из $\frac{1}{x-2}=t$ получаем $x=2+\frac{1}{t}$.

Если $t=3$: $x-2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}$.

Если $t=-2$: $x-2=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne2$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{3}{2};\quad \dfrac{7}{3}$.

Правильный ответ: 3/2;7/3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 216/x ч, вторым — 216/(x−9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

216/(x−9) − 216/x = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x−9):

216·x − 216·(x−9) = 4·x·(x−9).

1944 = 4·x² − 36·x.

4x² − 36x − 1944 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.

x = (36 + 180) / (2·4) = 27 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 216/27 = 8 ч, второй — 216/18 = 12 ч.

12 − 8 = 4 = 4. ✓

Ответ: 27.

Правильный ответ: 27

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 4\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 4.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 4.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 4. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 4.

Проверка: при m = 4 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 11, CK = 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 11.

Шаг 3. BC = BK + CK = 11 + 20 = 31.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(11 + 31) = 84.

Ответ: 84.

Правильный ответ: 84

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка K лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка K лежит на биссектрисе угла B.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла B одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от K до каждой из прямых AB, BC и AD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−4, 0), D = (4, 0) (|AD| = 8).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (8, h). На прямой BE точка E = (0, 8 − h), так как BE = 8.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{8}{4}$ = 6.

Шаг 5. AB = √(h² + (4)²) = √(36 + 16) = 2√13;

BC = 2·AB = 4√13; CA = 6√5.

Ответ: 2√13; 4√13; 6√5.

Правильный ответ: 2√13; 4√13; 6√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.