Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
гараж
баня
жилой дом
яблони
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: гараж — 2, баня — 4, жилой дом — 7, яблони — 3.
В таблице объекты стоят в порядке: гараж, баня, жилой дом, яблони.
Получаем последовательность: 2473.
Ответ: 2473
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 4 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 4 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 4⌉ = 7 упаковок.
Ответ: 7.
Ответ: 7
3Задание 31 балл
Найдите площадь открытого грунта огорода (вне теплицы). Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Площадь огорода равна 120 кв. м, площадь теплицы — 12 кв. м. Площадь открытого грунта: 120 - 12 = 108 кв. м.
Ответ: 108.
Ответ: 108
4Задание 41 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?
Решение
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью теплицы: (48 - 12) / 12 · 100% = 300%.
Ответ: 300.
Ответ: 300
5Задание 51 балл
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
22 000 руб.
20 105 руб.
1,5 куб. м/ч
4,9 руб./куб. м
Электр. отопление
19 000 руб.
16 000 руб.
4,9 кВт
4,4 руб./(кВт·ч)
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 42105 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 35000 руб.
Разница в начальных расходах: 42105 - 35000 = 7105 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,5 · 4,9 = 7,35 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,4 = 21,56 руб./ч.
Экономия за час: 21,56 - 7,35 = 14,21 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7105 / 14,21 = 500.
Ответ: 500.
Ответ: 500
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,3 \cdot \frac{3}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,3 \cdot \frac{3}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,3) \cdot \frac{3}{2} = 0,45\).
Получили результат \(0,45\).
Ответ: \(0,45\).
Ответ: 0,45
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{-44}{13}\)
2
-0,47
3
\(\frac{61}{13}\)
4
\(\sqrt{28}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 5 и 6.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-44}{13}\) ≈ -3,3846
2) -0,47 ≈ -0,47
3) \(\frac{61}{13}\) ≈ 4,6923
4) \(\sqrt{28}\) ≈ 5,2915
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{7} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{70}$$
Найдите корни уравнения:
x2 + 3x - 54 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 3x - 54 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 3, c = -54.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 3² - 4·1·-54 = 225.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-3 - √225) / 2 = -9
x₂ = (-3 + √225) / 2 = 6
Ответ: -9;6
Ответ: -9;6
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cup B\).
Решение
Всего исходов: 40. Вероятность события \(\overline{A} \cup B\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=28/40=0,7\).
Ответ: 0,7
Ответ: 0,7
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -2x² - 6x + 1
Б) y = 0.1/x
В) y = 0.8x + 2
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12Расчёты по формулам1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 12 колец.
Решение
Подставим n = 12 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·12 = 54500.
Ответ: 54 500.
Ответ: 54 500
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1
x2 - 8x < 0
2
x2 - 8x > 0
3
x2 - 64 < 0
4
x2 - 64 > 0
Решение
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 35 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 160 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 35 минут пройдёт 5 промежутков по 7 минут.
Тогда масса станет равна 160·(\(\frac{1}{2}\))^5 = 5 мг.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15Треугольники и их элементы1 балл
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 48°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
BH — высота, значит BH ⟂ AC.
Угол между AB и AC равен 48°.
Тогда угол между AB и BH равен 90° - 48° = 42°.
Ответ: 42.
Ответ: 42
16Окружность, круг и их элементы1 балл
В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно 4√3/3. Найдите сторону треугольника.
Решение
Расстояние от центра описанной окружности равностороннего треугольника до стороны равно радиусу вписанной окружности r.
Для равностороннего треугольника a = 2r√3.
Подставляя r = 4√\(\frac{3}{3}\), получаем a = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение
При угле 45° высота равна половине разности оснований.
h = (9 - 4) / 2 = 2,5.
S = (4 + 9) / 2 · 2,5 = 16,25.
Ответ: 16,25.
Ответ: 16,25
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 8 и 4.
S = 8 · 4 / 2 = 16.
Ответ: 16.
Ответ: 16
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
2
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3
В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}7x^2-5x=y,\\7x-5=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(7x^2-5x=7x-5\).
Шаг 2. Переносим влево: \(7x^2-12x+5=0\).
Шаг 3. Разложим: \((7x-5)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{5}{7}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{5}{7}\): \(y=7\cdot\dfrac{5}{7}-5=0\).
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).
Шаг 1. Поезд и пешеход движутся в одном направлении. Относительная скорость:
Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 18 с, значит его длина:
200/9 × 18 = 400 м.
Ответ: 400.
Правильный ответ: 400
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 5.
Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 41, BC = 27, CF : DF = 5 : 2.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 5:2 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 5:2 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.
Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):
∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.
Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 10 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 24, AB = 10, CD = 26, BC = 1.
