Загрузка заданий...

Вариант 831 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.

Стоимость (руб.)	15 000	19 500	18 000
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.

Ответ: 321

2 Задание 2 1 балл

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.

Ответ: 7.7

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.

Ответ: 4500

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.

Ответ: 17550

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

По рисунку половина ширины кожуха равна 30 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 40 см. Радиус: R = √(30² + 40²) = √2500 = 50 см. Ответ: 50.

Ответ: 50

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{5} : \frac{2}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{5} : \frac{2}{3}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{5}) : \frac{2}{3} = \frac{27}{10}$.

Получили дробь $\frac{27}{10}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2,7$.

Ответ: $2,7$.

Ответ: 2,7

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу -3,12. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число -3,12 по своему значению совпадает с точкой A.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{12}$$

Решение

Вычислим выражение: 3√2 · 2√6 · √12.

Перемножим коэффициенты: 3 · 2 = 6.

Подкоренные выражения дают: √2 · √6 · √12 = √(2·6·12) = √(144) = 12.

Тогда всё выражение равно 6 · 12 = 72.

Ответ: 72.

Ответ: 72

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x + 4y = 10 \\ 8x + 3y = 69 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-3x + 4y = 10

8x + 3y = 69

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на -3.

Получим:

$(-3x + 4y = 10) \cdot 8$: -24x + 32y = 80

$(8x + 3y = 69) \cdot -3$: -24x - 9y = -207

Вычтем второе уравнение из первого:

41y = 287

y = 287 / 41 = 7

Подставим y = 7 в первое уравнение:

-3x + 4y = 10

Получаем x = 6.

Ответ: (6;7)

Ответ: 6;7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 17, sinα = 0,231, а S = 29,423.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·29,423/(17·0,231) = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

5x - x² ≤ 0

Решение

Разложим: 5x - x² = x(5 - x). Нули: 0 и 5. Верное решение: (-∞;0] ∪ [5;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 5 см = 0,05 м.

После 7-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 8-го прыжка уже меньше.

Ответ: 8.

Ответ: 8

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 14, BC = 5, sin ∠ABC = 6/7. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 14 · 5 · $\frac{6}{7}$ = 420/14 = 30.

Ответ: 30.

Ответ: 30

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 5, BC = 8, CD = 14. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 5 + 14 - 8 = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 12 + 8 = 20.

S = 20 · 5 = 100.

Ответ: 100.

Ответ: 100

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 10 и 4.

Большая диагональ равна 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.

3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2+y=9,\\3x^2-y=11.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(2x^2+y)+(3x^2-y)=9+11\Rightarrow 5x^2=20$.

Шаг 2. $x^2=4\Rightarrow x=\pm2$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=9-2x^2=9-8=1$.

Ответ: $(-2;\,1);\ (2;\,1)$.

Правильный ответ: (-2;1);(2;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 288 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 4. По течению: x + 4.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 3 ч больше):

288/(x − 4) − 288/(x + 4) = 3.

Шаг 3. Умножаем на (x−4)(x+4) = x²−16:

288(x+4) − 288(x−4) = 3(x²−16).

Шаг 4. Левая часть: 288·2·4 = 2304. Получаем квадратное уравнение:

3x² − 2304 − 48 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 28.

Шаг 6. Проверка: 288/24 = 12 ч, 288/32 = 9 ч, разность 3 ч. ✓

Ответ: 28.

Правильный ответ: 28

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| + 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x + 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x + 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 2. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 2.

Проверка: при m = 2 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: 2.

Правильный ответ: 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 6. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 24 + 6 = 30.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 30 и катетом DH = 24.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(30² − 24²) = √(324) = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.

Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):

∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.

Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 15, MD = 12, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 15 − 12 = 3.

AM² = 9.

AH = AM² / AD = 9 / 15 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 15 − 144/15 = 5,4.

Ответ: 5,4.

Правильный ответ: 5,4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.