Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
594
420
2
420
297
3
148
105
4
297
210
Решение
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
Ответ: 1243
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
Ответ: 4
3Задание 31 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
Ответ: 312.5
4Задание 41 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
Ответ: 150
5Задание 51 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
Ответ: 4800
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,008 : \frac{1}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,008 : \frac{1}{8}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,008) : \frac{1}{8} = 0,064\).
Получили результат \(0,064\).
Ответ: \(0,064\).
Ответ: 0,064
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Укажите число, которое больше -2,75, но меньше \(\sqrt{2}\).
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-3,01
2
3,7
3
-0,04
4
4,2
Решение
Сравним числа -2,75 и \(\sqrt{2}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-0,04) лежит между этими числами.
Ответ: 3
Ответ: 3
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$4^{-3} \cdot (4^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 4^(-3) · (4^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события \(A \cup \overline{B}\).
Решение
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,6.
Ответ: 0,6
Ответ: 0,6
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -0.75x - 1
Б) y = -1x² + 5
В) y = -12/x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12Расчёты по формулам1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец.
Решение
Подставим n = 14 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·14 = 62500.
Ответ: 62 500.
Ответ: 62 500
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 6)(x - 2) ≥ 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -6 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 2) >= 0 получаем решение (-∞;-6] ∪ [2;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 29 мест, а в седьмом ряду 41 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (41 - 29) / (7 - 3) = 3.
Тогда первый ряд: a₁ = a3 - (3 - 1)·d = 29 - 2·3 = 23.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 4/11, AB = 55. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 55 · \(\frac{4}{11}\) = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 2√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
R = 2√3 · √3 / 3 = \(\frac{6}{3}\) = 2.
Ответ: 2.
Ответ: 2
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов ромба равен 150°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Решение
Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.
Следовательно, искомый угол равен 150° / 2 = 75°.
Ответ: 75.
Ответ: 75
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 3 и 9, высота равна 4.
S = (3 + 9) / 2 · 4 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Все углы ромба равны.
2
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите неравенство: \((x-7)^2<\sqrt{11}(x-7)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести общий множитель \((x-7)\).
Шаг 1. Перенесём \(\sqrt{11}(x-7)\) влево:
\((x-7)^2-\sqrt{11}(x-7)<0\).
Шаг 2. Выносим \((x-7)\) за скобку:
\((x-7)\bigl[(x-7)-\sqrt{11}\bigr]<0\).
Шаг 3. Находим нули: первый множитель обращается в 0 при \(x=7\), второй — при \(x=7+\sqrt{11}\).
Шаг 4. Произведение двух линейных множителей отрицательно строго между их корнями.
Ответ: \((7;\; 7+\sqrt{11})\).
Правильный ответ: (7;7+√11)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 26 кг получается раствор с концентрацией 55%:
10·x + 16·y = 26·0,55 = 14,3 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 61%:
(x + y)/2 = 0,61 ⟹ x + y = 1,22 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 1,22 − x. Подставляем в (1):
10·x + 16·(1,22 − x) = 14,3
10x + 19,52 − 16x = 14,3
−6x = −5,22 ⟹ x = 0,87.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 10·0,87 = 8,7 кг.
Ответ: 8,7.
Правильный ответ: 8,7
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 1\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 1.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 1.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 1. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 1.
Проверка: при m = 1 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 1.
Правильный ответ: 1
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 15² + (AB/2)² = 15² + 8² = 289. R = 17.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 8 от центра:
(CD/2)² = R² − 8² = 289 − 64 = 225.
CD/2 = 15.
Шаг 3. CD = 2 · 15 = 30.
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.
BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.
S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).
Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△AOD) (общую часть):
S(△AOB) = S(△COD). ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 17, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
