Загрузка заданий...
Вариант 84 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 245/45 R18.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 265.
Ответ: 265
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 265/50 R17?
Решение
В маркировке 265/50 R17 ширина шины равна 265 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 265 · 50 / 100 = 132.5 мм. Ответ: 132.5.
Ответ: 132.5
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/35 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и нового колеса 265/35 R20. Ответ: 15.8.
Ответ: 15.8
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 245/45 R18 получаем диаметр 677.7 мм. Ответ: 677.7.
Ответ: 677.7
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/45 R18? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и колеса 265/45 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.7.
Ответ: 2.7
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,5 - 0,001$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,5 - 0,001\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,5) - 0,001 = 0,499\).
Ответ: \(0,499\).
Ответ: 0,499
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -2,641, \(\frac{-8}{7}\), -0,481, \(\frac{\sqrt{15}}{2}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -2,641 ≈ -2,641
2) \(\frac{-8}{7}\) ≈ -1,1429
3) -0,481 ≈ -0,481
4) \(\frac{\sqrt{15}}{2}\) ≈ 1,9365
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3^{-2} \cdot (3^4)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 3^(-2) · (3^4)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^4)^2 = 3^8.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-2 · 3^8 = 3^6.
Получаем 3^6 = 729.
Ответ: 729.
Ответ: 729
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x + 3y = 43 \\ -4x + 3y = 11 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
4x + 3y = 43
-4x + 3y = 11
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -4, а второе — на 4.
Получим:
\((4x + 3y = 43) \cdot -4\): -16x - 12y = -172
\((-4x + 3y = 11) \cdot 4\): -16x + 12y = 44
Вычтем второе уравнение из первого:
-24y = -216
y = -216 / -24 = 9
Подставим y = 9 в первое уравнение:
4x + 3y = 43
Получаем x = 4.
Ответ: (4;9)
Ответ: 4;9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 25 билетов, Серёжа не выучил 14 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 11 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{11}{25}\) = 0,44.
Ответ: 0,44.
Ответ: 0,44
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a > 0, c > 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 167 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = 167 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(167 − 32)/9 = 75.
Ответ: 75.
Ответ: 75
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 0,5 \geqslant -7,5 \\ x − 0,1 \geqslant -9,1 \end{cases}$$
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-8;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 560, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 11, AB = 20. Найдите sin B.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{11}{20}\) = 0,55.
Ответ: 0,55.
Ответ: 0,55
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 14√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Решение
Диагональ квадрата равна a√2.
Если a = 14√2, то d = 14√2 · √2 = 28.
Радиус описанной окружности равен половине диагонали.
R = d / 2 = 28 / 2 = 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Площадь параллелограмма равна 56, а две его стороны равны 7 и 28. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
Решение
Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.
h₁ = 56 / 7 = 8, h₂ = 56 / 28 = 2.
Требуемая высота равна 2.
Ответ: 2.
Ответ: 2
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 3 и 4.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{4}{x-1}-12=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x-1}\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+4t-12=0\).
Шаг 2. Дискриминант: \(D=16+48=64\), \(\sqrt{D}=8\).
\(t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6\).
Шаг 3. Обратная замена:
Если \(t=2\): \(x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\).
Если \(t=-6\): \(x-1=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow x=\dfrac{5}{6}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne1\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(\dfrac{5}{6};\quad \dfrac{3}{2}\).
Правильный ответ: 5/6;3/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 8 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения.
Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 8) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 8 ч раньше:
209/x − 209/(x+8) = 8.
Шаг 3. Умножаем на x·(x+8):
209·8 = 8·x·(x+8).
Шаг 4. Квадратное уравнение: 8x² + 64x − 1672 = 0.
Шаг 5. D = 57600, √D = 240.
x = (−64 + 240) / (2·8) = 11 (скорость второго).
Ответ: 11.
Правильный ответ: 11
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| - 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x - 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x - 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -2.
Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: -2.
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 8² + (AB/2)² = 8² + 6² = 100. R = 10.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 6 от центра:
(CD/2)² = R² − 6² = 100 − 36 = 64.
CD/2 = 8.
Шаг 3. CD = 2 · 8 = 16.
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на средней линии равноудалена от обоих оснований.
Шаг 1. Средняя линия параллельна основаниям и находится на расстоянии h/2 от каждого, где h — высота трапеции.
Шаг 2. S(BFC) = BC·(h/2)/2 = BC·h/4.
S(AFD) = AD·(h/2)/2 = AD·h/4.
Шаг 3. S(BFC) + S(AFD) = (AD+BC)·h/4 = S(трапеции)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−8, 0), D = (8, 0) (|AD| = 16).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (16, h). На прямой BE точка E = (0, 16 − h), так как BE = 16.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{16}{4}\) = 12.
Шаг 5. AB = √(h² + (8)²) = √(144 + 64) = 4√13;
BC = 2·AB = 8√13; CA = 12√5.
Ответ: 4√13; 8√13; 12√5.
Правильный ответ: 4√13; 8√13; 12√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.