Загрузка заданий...
Вариант 854 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R15.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.
Ответ: 185
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/55 R15?
Решение
В маркировке 205/55 R15 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 205 · 55 / 100 = 112.75 мм. Ответ: 112.75.
Ответ: 112.75
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/45 R17?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R15 и нового колеса 205/45 R17. Ответ: 13.3.
Ответ: 13.3
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/60 R15 получаем диаметр 603 мм. Ответ: 603.
Ответ: 603
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/45 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R15 и колеса 205/45 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.2.
Ответ: 2.2
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{5}{8} - \frac{1}{4} - \frac{3}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{5}{8} - \frac{1}{4} - \frac{3}{10}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{5}{8}) - \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\).
Шаг 2: \((\frac{3}{8}) - \frac{3}{10} = \frac{3}{40}\).
Получили дробь \(\frac{3}{40}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,075\).
Ответ: \(0,075\).
Ответ: 0,075
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -3 и -1,2?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -3 и -1,2. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (\(-\frac{29}{10}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 3
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{45} + \sqrt{20})\sqrt{5}$$
Решение
Вычислим выражение: (√45 + √20)·√5.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √45 = 3√5, √20 = 2√5.
Тогда получаем (3√5 + 2√5)·√5 = 5√5·√5.
Так как √5·√5 = 5, имеем 5·5 = 25.
Ответ: 25.
Ответ: 25
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 3x - 3y = -27 \\ 2x + 6y = -10 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
3x - 3y = -27
2x + 6y = -10
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе — на 3.
Получим:
\((3x - 3y = -27) \cdot 2\): 6x - 6y = -54
\((2x + 6y = -10) \cdot 3\): 6x + 18y = -30
Вычтем второе уравнение из первого:
-24y = -24
y = -24 / -24 = 1
Подставим y = 1 в первое уравнение:
3x - 3y = -27
Получаем x = -8.
Ответ: (-8;1)
Ответ: -8;1
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Саша не выучил 34 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 16 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{16}{50}\) = 0,32.
Ответ: 0,32.
Ответ: 0,32
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -2x - 4
Б) y = -1x² - 2
В) y = √x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 30 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = 30 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(30) + 32 = 86.
Ответ: 86.
Ответ: 86
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
3x - x2 < 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 3x - x² = x(3 - x). Нули: 0 и 3. Верное решение: (-∞;0) ∪ (3;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 14 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 14, q = 3.
За 60 минут пройдёт 3 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 14·3^3 = 378 мг.
Ответ: 378.
Ответ: 378
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 16, AB = 25. Найдите cos B.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{16}{25}\) = 0,64.
Ответ: 0,64.
Ответ: 0,64
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 22. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Решение
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.
Поэтому радиус равен половине стороны: r = 22 / 2 = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 4√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 4√2 · √2 = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 5, высота равна 8.
S = 5 · 8 / 2 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2+y^2=61,\\15x^2+3y^2=61x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 3.
Шаг 1. Умножаем первое на 3: \(15x^2+3y^2=183\).
Шаг 2. По второму: \(15x^2+3y^2=61x\).
Шаг 3. Приравниваем правые части:
\(183=61x\Rightarrow x=3\).
Шаг 4. Подставляем \(x=3\):
\(5\cdot9+y^2=61\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4\).
Ответ: \((3;\,-4);\ (3;\,4)\).
Правильный ответ: (3;-4);(3;4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.
Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:
56/(x + 5) + 54/(x − 5) = 5.
Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
56(x−5) + 54(x+5) = 5(x²−25).
Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.
Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 23.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{56}{28}\) = 2 ч, \(\frac{54}{18}\) = 3 ч, сумма 5 ч. ✓
Ответ: 23.
Правильный ответ: 23
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{7x-10}{7x^2-10x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=10/7 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=10/7 \), откуда \( k=49/100 \).
Ответ: 49/100.
Правильный ответ: 49/100
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 63° и 87°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.
Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 63° − 87° = 30°.
Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·15·(\(\frac{1}{2}\)) = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 15, MD = 12, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 15 − 12 = 3.
AM² = 9.
AH = AM² / AD = 9 / 15 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 15 − 144/15 = 5,4.
Ответ: 5,4.
Правильный ответ: 5,4
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.