Загрузка заданий...
Вариант 861 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.
Получаем последовательность: 3517.
Ответ: 3517
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.
Ответ: 9.
Ответ: 9
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.
Ответ: 6.
Ответ: 6
4
Задание 4
1 балл
Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?
Решение
Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.
Ответ: 10.
Ответ: 10
5
Задание 5
1 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 18 000 руб. | 13 896 руб. | 1,6 куб. м/ч | 4,7 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 15 000 руб. | 9 000 руб. | 4,7 кВт | 4,4 руб./(кВт·ч) |
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.
Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.
Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.
Ответ: 600.
Ответ: 600
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$9 + \frac{1}{25} - \frac{1}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(9 + \frac{1}{25} - \frac{1}{10}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((9) + \frac{1}{25} = 9,04\).
Шаг 2: \((9,04) - \frac{1}{10} = 8,94\).
Получили результат \(8,94\).
Ответ: \(8,94\).
Ответ: 8,94
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше -3,825, но меньше -1,02.
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -3,825 и -1,02. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-2,84) лежит между этими числами.
Ответ: 3
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)$$
Решение
Вычислим выражение: (√5 - 4)(√5 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√5)² - 4² = 5 - 16 = -11.
Ответ: -11.
Ответ: -11
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -7x + 4y = -62 \\ -2x + 2y = -22 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-7x + 4y = -62
-2x + 2y = -22
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на -7.
Получим:
\((-7x + 4y = -62) \cdot -2\): 14x - 8y = 124
\((-2x + 2y = -22) \cdot -7\): 14x - 14y = 154
Вычтем второе уравнение из первого:
6y = -30
y = -30 / 6 = -5
Подставим y = -5 в первое уравнение:
-7x + 4y = -62
Получаем x = 6.
Ответ: (6;-5)
Ответ: 6;-5
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Серёжа не выучил 23 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 27 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{27}{50}\) = 0,54.
Ответ: 0,54.
Ответ: 0,54
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k < 0, b < 0
Б) k > 0, b > 0
В) k < 0, b > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 8 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 627,2 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 627,2/(9,8·8) = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 1)(x - 5) < 0
Решение
Нули выражения: x = -1 и x = 5. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 5 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 5) < 0 получаем решение (-1;5). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 12 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?
Решение
Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 12, d = 10, n = 6.
Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 6(2·12 + 5·10)/2 = 222.
Ответ: 222.
Ответ: 222
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 167°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.
Поэтому он равен 180° - 167° = 13°.
Ответ: 13.
Ответ: 13
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 69°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.
В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 69° = 21°.
Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.
Следовательно, ∠NMB = 21°.
Ответ: 21.
Ответ: 21
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов параллелограмма равен 128°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Соседние углы параллелограмма supplementary.
Искомый угол равен 180° - 128° = 52°.
Ответ: 52.
Ответ: 52
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.
Ответ: 15.
Ответ: 15
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(18a-30b+17\), если \(\dfrac{7a-5b+4}{5a-7b+4}=5\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(18a-30b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(7a-5b+4 = 5(5a-7b+4)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(7a-5b+4 = 25a-35b+20\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 18a-30b+16\), откуда \(18a-30b = -16\).
Шаг 4. Вычисляем: \(18a-30b+17 = -16+17 = 1\).
Ответ: 1.
Правильный ответ: 1
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.
Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:
64/(x + 5) + 48/(x − 5) = 8.
Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
64(x−5) + 48(x+5) = 8(x²−25).
Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.
Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 15.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{64}{20}\) = \(\frac{16}{5}\) ч, \(\frac{48}{10}\) = \(\frac{24}{5}\) ч, сумма 8 ч. ✓
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{5x-8}{5x^2-8x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=8/5 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=8/5 \), откуда \( k=25/64 \).
Ответ: \(\frac{25}{64}\).
Правильный ответ: 25/64
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD = 87.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin60°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 87 · sin135°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin60° = 87 · sin135°.
AB = 87 · sin135°/sin60° (здесь sin135°/sin60° = √\(\frac{6}{3}\)).
AB = 29√6.
Ответ: 29√6.
Правильный ответ: 29√6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 44 и CD = 8 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.
Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).
α + β = 60°.
Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.
AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.
Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).
При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.
AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).
Шаг 5. 44² + 8² + 44·8 = 3R².
2352 = 3R² ⟹ R² = 2352/3.
R = 28.
Ответ: 28.
Правильный ответ: 28
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.