Загрузка заданий...
Вариант 885 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R14.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.
Ответ: 205
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/55 R15?
Решение
В маркировке 205/55 R15 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 205 · 55 / 100 = 112.75 мм. Ответ: 112.75.
Ответ: 112.75
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и нового колеса 195/55 R15. Ответ: 17.9.
Ответ: 17.9
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/60 R14 получаем диаметр 577.6 мм. Ответ: 577.6.
Ответ: 577.6
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/50 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и колеса 205/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 5.9.
Ответ: 5.9
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{1} + \frac{3}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{1} + \frac{3}{10}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{1}) + \frac{3}{10} = \frac{33}{10}\).
Получили дробь \(\frac{33}{10}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(3,3\).
Ответ: \(3,3\).
Ответ: 3,3
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -2,52 и \(-\frac{2}{1}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -2,52 и \(-\frac{2}{1}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (\(-\frac{9}{4}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3^{-2} \cdot (3^2)^3$$
Решение
Вычислим выражение: 3^(-2) · (3^2)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^2)^3 = 3^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-2 · 3^6 = 3^4.
Получаем 3^4 = 81.
Ответ: 81.
Ответ: 81
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + 4y = -19 \\ 6x + 5y = -38 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
x + 4y = -19
6x + 5y = -38
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на 1.
Получим:
\((x + 4y = -19) \cdot 6\): 6x + 24y = -114
\((6x + 5y = -38) \cdot 1\): 6x + 5y = -38
Вычтем второе уравнение из первого:
19y = -76
y = -76 / 19 = -4
Подставим y = -4 в первое уравнение:
x + 4y = -19
Получаем x = -3.
Ответ: (-3;-4)
Ответ: -3;-4
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 25 чашек: 4 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 21 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{21}{25}\) = 0,84.
Ответ: 0,84.
Ответ: 0,84
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -112 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = -112 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-112 − 32)/9 = -80.
Ответ: -80.
Ответ: -80
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 < 16
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² < 16 получаем границы x = ±4. Верное решение: (-4;4). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 42 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 42 минут пройдёт 6 промежутков по 7 минут.
Тогда масса станет равна 320·(\(\frac{1}{2}\))^6 = 5 мг.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите медиану этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 12√3 · √3 / 2 = 12·3 / 2 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 3√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
Значит, a = 3R / √3 = 3 · 3√3 / √3 = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание, если высота равна 5, большее основание равно 14, а угол при основании равен 45°.
Решение
При угле 45° разность оснований равна двум высотам.
Меньшее основание равно 14 - 2·5 = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 3 и 1.
Искомое отношение площадей равно (3 / 1)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2+y=6,\\4x^2-y=1.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((3x^2+y)+(4x^2-y)=6+1\Rightarrow 7x^2=7\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=6-3x^2=6-3=3\).
Ответ: \((-1;\,3);\ (1;\,3)\).
Правильный ответ: (-1;3);(1;3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.
Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 8) км/ч.
Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 1 км.
Длина круга = x + 1 км.
Шаг 3. Второй пробежал круг 20 мин назад, то есть за (1 − \(\frac{20}{60}\)) = 0,6666666667 ч.
Длина круга = (x + 8) · 0,6666666667 км.
Шаг 4. Приравниваем: x + 1 = (x + 8) · 0,6666666667.
Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 13 км/ч.
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 10\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 10.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 10.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 10. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 10.
Проверка: при m = 10 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 62° и 88°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.
Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 62° − 88° = 30°.
Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·10·(\(\frac{1}{2}\)) = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка E равноудалена от C и D
⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.
Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.
Следовательно, EF ⟂ CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 11, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 126° и 99°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
Тогда AD = 2R (диаметр).
Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).
∠DBC = ∠B − 90° = 126° − 90° = 36°.
Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 99° − 90° = 9°.
Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 36° (вписанные углы на одну дугу CD).
∠ADB = ∠ACB = 9° (вписанные углы на одну дугу AB).
∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 9° = 81°.
Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 81° − 36° = 45°.
Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).
AD = BC / sin(45°) = 11 / sin(45°) = 11√2.
Ответ: 11√2.
Правильный ответ: 11√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.