Загрузка заданий...

Вариант 898 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 6, кладовая — 8, спальня — 5, кухня — 1.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 6851.

Ответ: 6851

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 40 см продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,16 = 24,64 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,4 = 0,08 кв. м.

Нужно элементов: 24,64 / 0,08 = 308.

В одной упаковке 8 штук, значит понадобится 39 упаковок.

Ответ: 39.

Ответ: 39

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кладовой. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 24 клетки.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 24 · 0,16 = 3,84 кв. м.

Ответ: 3,84.

Ответ: 3,84

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой, не превосходящую 85 см по высоте.

Решение

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.

Модель К: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.

Наименьшая стоимость у модели К: 28 800 руб.

Ответ: 28 800.

Ответ: 28800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 - 0,03$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,2 - 0,03$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,2) - 0,03 = 0,17$.

Ответ: $0,17$.

Ответ: 0,17

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

4 - a < 0

-a < -5

a < 4

Решение

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) 4 - a < 0 ⇔ a > 4 — верно.

3) -a < -5 ⇔ a > 5 — неверно.

4) a < 4 ⇔ a < 4 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 1)(\sqrt{8} + 1)$$

Решение

Вычислим выражение: (√8 - 1)(√8 + 1).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√8)² - 1² = 8 - 1 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 8x = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 8x = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -8, c = 0.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -8² - 4·1·0 = 64.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (8 - √64) / 2 = 0

x₂ = (8 + √64) / 2 = 8

Ответ: 0;8

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 31 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 80.

Благоприятных исходов: 49 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{49}{80}$ = 0,6125.

Ответ: 0,6125.

Ответ: 0,6125

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = -1x² + 7x - 7

Б) y = 9/x

В) y = -0.2x - 5

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,02 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,02 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,02 = 196.

Ответ: 196.

Ответ: 196

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

9x - 2 ≤ 4x + 9

[2,2;+∞)

(-∞;-2,2]

[-2,2;+∞)

(-∞;2,2]

Решение

Решим неравенство: 9x - 2 <= 4x + 9.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x <= 11.

Делим обе части на 5: x <= 2,2.

Значит, x меньше или равно 2,2.

Этому соответствует промежуток (-∞;2,2].

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 20 см = 0,2 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 10√3 · √3 / 2 = 10·3 / 2 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 53°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.

Тогда угол ACB опирается на диаметр и равен 90°.

Следовательно, ∠ABC = 90° - 53° = 37°.

Ответ: 37.

Ответ: 37

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.

Следовательно, угол A равен 25° + 30° = 55°.

Больший угол параллелограмма равен 180° - 55° = 125°.

Ответ: 125.

Ответ: 125

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=5: t=(5−1)/(7−1)=$\frac{2}{3}$. x_A=1+$\frac{2}{3}$·3=3... нет, считаем по клеткам: A=(2,5), B=(6,5). AB=4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все квадраты имеют равные площади.

Основания равнобедренной трапеции равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-3x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+28$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сокращаем $\sqrt{6-x}$ из обеих частей.

Шаг 1. После сокращения:

$x^2-3x=28$.

Шаг 2. Решаем:

$x^2-3x-28=0\Rightarrow(x-7)(x+4)=0$.

Корни: $x=7$ и $x=-4$.

Шаг 3. ОДЗ: $6-x\ge0\Rightarrow x\le6$. Значит $x=7$ не подходит.

Ответ: $-4$.

Правильный ответ: -4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч, стоянка длится 1 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.

По течению: 19 + x. Против течения: 19 − x.

Шаг 2. Составляем уравнение:

176/(19+x) + 1 + 176/(19−x) = 20.

Шаг 3. Переносим стоянку: 176/(19+x) + 176/(19−x) = 19.

Шаг 4. Умножаем на (19+x)(19−x) = 361−x²:

176(19−x) + 176(19+x) = 19(361−x²).

Шаг 5. Левая часть: 2·176·19 = 6688. Квадратное уравнение относительно x.

Шаг 6. Решение: x = 3.

Шаг 7. Проверка: 8 + 1 + 11 = 20. ✓

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| - 1\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x - 1.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x - 1.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -1. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -1.

Проверка: при m = -1 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -1.

Правильный ответ: -1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.

Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.

Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).

Шаг 2. По условию r = 18, диагональ = 72 = 4r.

Значит диагональ = 4·18, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.

Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = $\frac{1}{2}$, α/2 = 30°, α = 60°.

Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.

Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−12, 0), D = (12, 0) (|AD| = 24).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (24, h). На прямой BE точка E = (0, 24 − h), так как BE = 24.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{24}{4}$ = 18.

Шаг 5. AB = √(h² + (12)²) = √(324 + 144) = 6√13;

BC = 2·AB = 12√13; CA = 18√5.

Ответ: 6√13; 12√13; 18√5.

Правильный ответ: 6√13; 12√13; 18√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.