Загрузка заданий...

Вариант 902 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/50 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.

Ответ: 205

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/50 R18?

Решение

В маркировке 205/50 R18 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 205 · 50 / 100 = 102.5 мм. Ответ: 102.5.

Ответ: 102.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 12.9.

Ответ: 12.9

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/50 R16 получаем диаметр 621.4 мм. Ответ: 621.4.

Ответ: 621.4

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и колеса 225/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.6.

Ответ: 1.6

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Получили дробь $\frac{3}{8}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,375$.

Ответ: $0,375$.

Ответ: 0,375

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-13}{3}$, $\frac{\sqrt{8}}{2}$, 1,56, 2,1 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-13}{3}$

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

1,56

2,1

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -5 и -4.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-13}{3}$ ≈ -4,3333

2) $\frac{\sqrt{8}}{2}$ ≈ 1,4142

3) 1,56 ≈ 1,56

4) 2,1 ≈ 2,1

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(2\sqrt{5})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (2√5)².

Используем свойство степени произведения: (2√5)² = 2² · (√5)².

Получаем 4 · 5 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -8x - 2y = -82 \\ -6x + 5y = -3 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-8x - 2y = -82

-6x + 5y = -3

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на -8.

Получим:

$(-8x - 2y = -82) \cdot -6$: 48x + 12y = 492

$(-6x + 5y = -3) \cdot -8$: 48x - 40y = 24

Вычтем второе уравнение из первого:

52y = 468

y = 468 / 52 = 9

Подставим y = 9 в первое уравнение:

-8x - 2y = -82

Получаем x = 8.

Ответ: (8;9)

Ответ: 8;9

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 40 билетов, Стас не выучил 29 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 11 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{11}{40}$ = 0,275.

Ответ: 0,275.

Ответ: 0,275

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = 1x² + 4x - 3

Б) y = -0.5x + 6

В) y = -0.5/x

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 203 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = 203 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(203 − 32)/9 = 95.

Ответ: 95.

Ответ: 95

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

4x - 8 > -6x - 7

(-∞;-1,5)

(0,1;+∞)

(-0,5;+∞)

(0,5;+∞)

Решение

Решим неравенство: 4x - 8 > -6x - 7.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x > 1.

Делим обе части на 10: x > 0,1.

Значит, x больше 0,1.

Этому соответствует промежуток (0,1;+∞).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 40 минут пройдёт 5 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 400·($\frac{1}{2}$)^5 = 12,5 мг.

Ответ: 12,5.

Ответ: 12,5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 9, AB = 20. Найдите cos B.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.

cos B = BC / AB = $\frac{9}{20}$ = 0,45.

Ответ: 0,45.

Ответ: 0,45

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 19.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 19 = 38.

S = a² = 38² = 1444.

Ответ: 1444.

Ответ: 1444

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 6√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 6√2 · √2 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=5: t=(7−5)/(7−1)=$\frac{1}{3}$. x_A=1+$\frac{1}{3}$·3=2, x_B=4+$\frac{2}{3}$·3=6. AB=4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: тупым может быть только один угол.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2-x=y,\\2x-1=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $2x^2-x=2x-1$.

Шаг 2. Переносим влево: $2x^2-3x+1=0$.

Шаг 3. Разложим: $(2x-1)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{1}{2}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{1}{2}$: $y=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0$.

При $x=1$: $y=2-1=1$.

Ответ: $\left(\dfrac{1}{2};\,0\right);\ (1;\,1)$.

Правильный ответ: (1/2;0);(1;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/55 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/70 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/55 + S/70) = 2 / ($\frac{1}{55}$ + $\frac{1}{70}$).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·55·70 / (55 + 70) = 7700 / 125 = 61,6 км/ч.

Ответ: 61,6.

Правильный ответ: 61,6

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=3-\dfrac{x+5}{x^2+5x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=3-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-5 $.

У функции $ y=3-\frac1x $ нет значений $ y=3 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=3,2 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=3; 3,2 $.

Ответ: 3; 3,2.

Правильный ответ: 3; 3,2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол вписанный в диаметр = 90° — точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.

Шаг 1. Так как BH — диаметр, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен 90°.

Значит ∠BPH = 90° и ∠BKH = 90°, то есть P и K — основания перпендикуляров из H.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из B.

Четырёхугольник BPHK — прямоугольник (у него все углы прямые).

Шаг 3. В прямоугольнике PK = BH (противоположные стороны).

PK = BH = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 14. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 1008.

Ответ: 1008.

Правильный ответ: 1008

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.