Загрузка заданий...

Вариант 923 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

Ответ: 2413

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

Ответ: 2

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

Ответ: 1247.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

Ответ: 1250

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,625 + 3,75 - 3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,625 + 3,75 - 3$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,625) + 3,75 = 4,375$.

Шаг 2: $(4,375) - 3 = 1,375$.

Ответ: $1,375$.

Ответ: 1,375

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число $\frac{-11}{13}$?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\frac{-11}{13}$ по своему значению совпадает с точкой B.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{63} + \sqrt{7})\sqrt{7}$$

Решение

Вычислим выражение: (√63 + √7)·√7.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √63 = 3√7, √7 = 1√7.

Тогда получаем (3√7 + 1√7)·√7 = 4√7·√7.

Так как √7·√7 = 7, имеем 4·7 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-5x + 9)}{4} - \frac{(7x - 3)}{4} = -9$$

Решение

Решим уравнение: (-5x + 9)/4 - (7x - 3)/4 = -9

Домножим обе части на НОК знаменателей 4 и 4, то есть на 4.

Получим:

(-5x + 9) - (7x - 3) = -36

Приведём подобные слагаемые:

-12x + 12 = -36

Перенесём число в правую часть:

-12x = -48

Разделим обе части на -12:

x = -48 / -12

x = 4

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.65 и 0.35: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.4, по нижнему 0.65.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.65 · 0.4 = 0.26.

Нижний путь: 0.35 · 0.65 = 0.2275.

Складываем: 0.26 + 0.2275 = 0.4875.

Ответ: 0,4875

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c > 0

3) a > 0, c < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 4 с^-1, а центростремительное ускорение равно 64 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 64/(4²) = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 1,8 < -2,3 \\ x − 0,1 \geqslant -5,3 \end{cases}$$

[-5,2;-0,5)

[-0,5;+∞)

(-∞;-5,2] ∪ [-0,5;+∞)

(-∞;-5,2)

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-5,2;-0,5). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,8 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,6 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 9 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,8, d = 0,6, n = 9.

Сумма первых 9 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 28,8.

Ответ: 28,8.

Ответ: 28,8

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 27 = 324/2 = 162.

Ответ: 162.

Ответ: 162

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 86°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 86° = 94°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 94° / 2 = 47°.

Ответ: 47.

Ответ: 47

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение

При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.

Следовательно, меньшее основание равно 7 - 2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 3 и 9, высота равна 4.

S = (3 + 9) / 2 · 4 = 24.

Ответ: 24.

Ответ: 24

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: тангенс острого угла может быть больше 1.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-2)^2<\sqrt{3}(x-2)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-2)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-2)^2-\sqrt{3}(x-2)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-2)\bigl[(x-2)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=2$ и $x=2+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(2;\; 2+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (2;2+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 5. По течению: x + 5.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 5 ч больше):

132/(x − 5) − 132/(x + 5) = 5.

Шаг 3. Умножаем на (x−5)(x+5) = x²−25:

132(x+5) − 132(x−5) = 5(x²−25).

Шаг 4. Левая часть: 132·2·5 = 1320. Получаем квадратное уравнение:

5x² − 1320 − 125 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 17.

Шаг 6. Проверка: 132/12 = 11 ч, 132/22 = 6 ч, разность 5 ч. ✓

Ответ: 17.

Правильный ответ: 17

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2-4x+1,& x\ge -3,\\-x-2,& x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (1;4)∪{5}.

Ответ: (1;4)∪{5}.

Правильный ответ: (1;4)∪{5}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 21, BF = 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(21² + 20²) = √841 = 29.

Ответ: 29.

Правильный ответ: 29

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов B и C перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠B + ∠C = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠B/2 + ∠C/2 = 90°.

Значит в △M (треугольник при пересечении биссектрис) угол при M равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла B.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до M равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем M — середина AD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 7.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 7.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 7 + 7 = 14.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 2 · 14 = 28.

Ответ: 28.

Правильный ответ: 28

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.