Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/60 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.
Ответ: 225
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 235/50 R17?
Решение
В маркировке 235/50 R17 ширина шины равна 235 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 235 · 50 / 100 = 117.5 мм. Ответ: 117.5.
Ответ: 117.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и нового колеса 225/50 R17. Ответ: 7.6.
Ответ: 7.6
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/60 R16 получаем диаметр 664.4 мм. Ответ: 664.4.
Ответ: 664.4
5Задание 51 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и колеса 225/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.1.
Ответ: 1.1
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$15 : 0,3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(15 : 0,3\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((15) : 0,3 = 50\).
Ответ: \(50\).
Ответ: 50
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} < 0\)
2
\(\frac{1}{a} > 0\)
3
a - 3 < 0
4
a - 4 > 0
Решение
По чертежу видно, что 3 < a < 4.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — верно.
3) a - 3 < 0 ⇔ a < 3 — неверно.
4) a - 4 > 0 ⇔ a > 4 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{50} + \sqrt{50})\sqrt{2}$$
Найдите корни уравнения:
x2 - 14x + 49 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 14x + 49 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -14, c = 49.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -14² - 4·1·49 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = 14 / 2 = 7
Ответ: 7
Ответ: 7
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события A.
Решение
Всего исходов: 40. Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=18/40=0,45\).
Ответ: 0,45
Ответ: 0,45
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k < 0, b < 0
Б) k > 0, b < 0
В) k > 0, b > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 396 Вт, а сила тока равна 6 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 396/(6²) = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-x + 5 ≤ x + 4
1
[-4,5;+∞)
2
(-∞;0]
3
[0,5;+∞)
4
[0;+∞)
Решение
Решим неравенство: -x + 5 <= x + 4.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x >= -1.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x >= 0,5.
Значит, x больше или равно 0,5.
Этому соответствует промежуток [0,5;+∞).
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 24 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 24 минут пройдёт 4 промежутков по 6 минут.
Тогда масса станет равна 200·(\(\frac{1}{2}\))^4 = 12,5 мг.
Ответ: 12,5.
Ответ: 12,5
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 15, AC = 3. Найдите tg B.
Решение
В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.
tg B = AC / BC = \(\frac{3}{15}\) = 0,2.
Ответ: 0,2.
Ответ: 0,2
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 71°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
∠C = 180° - 71° = 109°.
Ответ: 109.
Ответ: 109
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 39°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.
Следовательно, острый угол равен 2 · 39° = 78°.
Ответ: 78.
Ответ: 78
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 8.
Средняя линия равна 8 / 2 = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
2
Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.
3
Все диаметры окружности равны между собой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(13a-53b+39\), если \(\dfrac{8a-3b+5}{3a-8b+5}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(13a-53b\) и подставить.
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 204 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 204 кг свежих фруктов:
204 · 14/100 = 28,56 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 28,56.
x = 28,56 / 0,84 = 34 кг.
Ответ: 34.
Правильный ответ: 34
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 9\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 9.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 9.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 9. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 9.
Проверка: при m = 9 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 9.
Правильный ответ: 9
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 16, CD = 30, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 15, полухорда = AB/2 = 8.
R² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289. R = 17.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 15.
d² = R² − 15² = 289 − 225 = 64. d = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=22 и R=99.
O₁O₂ = r + R = 121 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(99·22) = 2√2178 = 66√2.
