Загрузка заданий...

Вариант 956 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 8, кладовая — 4, спальня — 1, кухня — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 8413.

Ответ: 8413

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 40 см продаётся в упаковках по 7 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,4 = 0,08 кв. м.

Нужно элементов: 98,56 / 0,08 = 1232.

В одной упаковке 7 штук, значит понадобится 176 упаковок.

Ответ: 176.

Ответ: 176

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.

Значит, площадь равна 36 · 0,36 = 12,96 кв. м.

Ответ: 12,96.

Ответ: 12,96

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее 6 кг.

Решение

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.

Модель Е: 27 600 + 2 300 + доставка бесплатная = 29 900 руб.

Модель Ж: 27 585 + 1 900 + доставка: 10% от 27 585 = 2758,5 руб. = 32243,5 руб.

Наименьшая стоимость у модели А: 29 700 руб.

Ответ: 29 700.

Ответ: 29700

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,9 : 0,008$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,9 : 0,008$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,9) : 0,008 = 112,5$.

Ответ: $112,5$.

Ответ: 112,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,731

$\frac{5}{14}$

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

$\frac{\sqrt{27}}{2}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -0,731 ≈ -0,731

2) $\frac{5}{14}$ ≈ 0,3571

3) $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ≈ 1,5811

4) $\frac{\sqrt{27}}{2}$ ≈ 2,5981

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(7\sqrt{7})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (7√7)².

Используем свойство степени произведения: (7√7)² = 7² · (√7)².

Получаем 49 · 7 = 343.

Ответ: 343.

Ответ: 343

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(2x + 4)}{2} - \frac{(3x + 6)}{3} + 6x = -12$$

Решение

Решим уравнение: (2x + 4)/2 - (3x + 6)/3 + 6x = -12

Домножим обе части на НОК знаменателей 2 и 3, то есть на 6.

Получим:

(6x + 12) - (6x + 12) + 36x = -72

Приведём подобные слагаемые:

36x = -72

Перенесём число в правую часть:

36x = -72

Разделим обе части на 36:

x = -72 / 36

x = -2

Ответ: -2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события A.

Решение

Всего элементарных исходов: 6. Благоприятных для события A: 3.

$P=3/6=0,5$.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = 1x² - 4

Б) y = √x

В) y = 2x - 4

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 14, sinα = 0,083, а S = 8,75.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·8,75/(14·0,083) = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-5x + 3 ≤ -7x - 12

(-∞;-7,5]

[7,5;+∞)

[-4,5;+∞)

(-∞;7,5]

Решение

Решим неравенство: -5x + 3 <= -7x - 12.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x <= -15.

Делим обе части на 2: x <= -7,5.

Значит, x меньше или равно -7,5.

Этому соответствует промежуток (-∞;-7,5].

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 560, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 5, AC = 20. Найдите tg B.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.

tg B = AC / BC = $\frac{20}{5}$ = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 24, а tg ∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:

tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 24 · $\frac{4}{3}$ = 32.

Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 24 · 32 / 2 = 384.

Сторона ромба a = √(($\frac{24}{2}$)² + ($\frac{32}{2}$)²) = 20.

Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.

r = S / (2a) = 384 / (2·20) = 9,6.

Ответ: 9,6.

Ответ: 9,6

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 8, AB = 9. Найдите AC.

Решение

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, BD = 2·BO = 2·8 = 16.

Так как AC = BD, получаем:

AC = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 4 и 6, высота равна 4.

S = (4 + 6) / 2 · 4 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $15a-21b+47$, если $\dfrac{5a-4b+9}{4a-5b+9}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $15a-21b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $5a-4b+9 = 5(4a-5b+9)$.

Шаг 2. Раскрываем: $5a-4b+9 = 20a-25b+45$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 15a-21b+36$, откуда $15a-21b = -36$.

Шаг 4. Вычисляем: $15a-21b+47 = -36+47 = 11$.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 16) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/x мин, второй — 105/(x+16) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

105/x − 105/(x+16) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+16):

105·(x+16) − 105·x = 4·x·(x+16).

1680 = 4·x² + 64·x.

4x² + 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.

x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = $\frac{15}{2}$ мин, вторая — 105/30 = $\frac{7}{2}$ мин.

$\frac{15}{2}$ − $\frac{7}{2}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2-4x-1,& x\ge -3,\\-x-3,& x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (0;2)∪{3}.

Ответ: (0;2)∪{3}.

Правильный ответ: (0;2)∪{3}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.

Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.

Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).

Шаг 2. По условию r = 16, диагональ = 64 = 4r.

Значит диагональ = 4·16, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.

Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = $\frac{1}{2}$, α/2 = 30°, α = 60°.

Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 29, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 20 + 4... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 21, AB = 20, CD = 29, BC = 4.

Шаг 3. AD = BC + AB = 4 + 20 = 24.

S = (BC + AD)/2 · h = (4 + 24)/2 · 21 = 290.

Ответ: 290.

Правильный ответ: 290

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.