Загрузка заданий...

Вариант 961 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

Ответ: 1243

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

Ответ: 312.5

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

Ответ: 150

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

Ответ: 4800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,7 + 1,75 + 6$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,7 + 1,75 + 6$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,7) + 1,75 = 2,45$.

Шаг 2: $(2,45) + 6 = 8,45$.

Ответ: $8,45$.

Ответ: 8,45

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > -6

-a < 5

$\frac{1}{a} > 0$

a < -6

Решение

По чертежу видно, что -6 < a < -5.

Проверим варианты ответа:

1) a > -6 ⇔ a > -6 — верно.

2) -a < 5 ⇔ a > -5 — неверно.

3) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

4) a < -6 ⇔ a < -6 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)$$

Решение

Вычислим выражение: (√5 - 2)(√5 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√5)² - 2² = 5 - 4 = 1.

Ответ: 1.

Ответ: 1

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-2x)}{6} - \frac{(-x - 2)}{7} - 7x = 65$$

Решение

Решим уравнение: (-2x)/6 - (-x - 2)/7 - 7x = 65

Домножим обе части на НОК знаменателей 6 и 7, то есть на 42.

Получим:

(-14x + 0) - (-6x - 12) - 294x = 2730

Приведём подобные слагаемые:

-302x + 12 = 2730

Перенесём число в правую часть:

-302x = 2718

Разделим обе части на -302:

x = 2718 / -302

x = -9

Ответ: -9

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 20 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 100.

Благоприятных исходов: 80 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 80/100 = 0,8.

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 9 колец.

Решение

Подставим n = 9 в формулу C = 6000 + 4100n.

C = 6000 + 4100·9 = 42900.

Ответ: 42 900.

Ответ: 42 900

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

4x + 10 ≤ 8x - 8

[4,5;+∞)

(-∞;4,5]

(-∞;0]

(-∞;-4,5]

Решение

Решим неравенство: 4x + 10 <= 8x - 8.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -4x >= -18.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -4: x >= 4,5.

Значит, x больше или равно 4,5.

Этому соответствует промежуток [4,5;+∞).

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунд торможения?

Решение

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 20, d = -2, n = 4.

Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·20 + 3·(-2))/2 = 68.

Ответ: 68.

Ответ: 68

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 3/5, AB = 10. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 10 · $\frac{3}{5}$ = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 115°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 115° / 2 = 57,5°.

Ответ: 57,5.

Ответ: 57,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 26, BD = 30, AB = 7. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 30 / 2 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: сумма всех углов 180°.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-17}{(x+3)^2-7}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-17<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+3)^2-7<0$.

Шаг 2. $(x+3)^2<7$.

Шаг 3. $-\sqrt{7}<x+3<\sqrt{7}$.

Шаг 4. Вычитаем 3: $-3-\sqrt{7}<x<-3+\sqrt{7}$.

Ответ: $(-3-\sqrt{7};\; -3+\sqrt{7})$.

Правильный ответ: (-3-√7;-3+√7)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 10) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 60/x ч, первым — 60/(x+10) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:

60/x − 60/(x+10) = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x+10):

60·(x+10) − 60·x = 3·x·(x+10).

600 = 3·x² + 30·x.

3x² + 30x − 600 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 30² + 4·3·600 = 900 + 7200 = 8100, √D = 90.

x = (−30 + 90) / (2·3) = 10 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — $\frac{60}{10}$ = 6 ч, первый — $\frac{60}{20}$ = 3 ч.

6 − 3 = 3 = 3. ✓

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{4x-5}{4x^2-5x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=5/4 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=5/4 $, откуда $ k=16/25 $.

Ответ: $\frac{16}{25}$.

Правильный ответ: 16/25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 57, BC = 30, CF : DF = 7 : 2.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 7:2 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 7:2 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (2·30 + 7·57) / (7+2).

Шаг 3. EF = (60 + 399) / 9 = 459 / 9 = 51.

Ответ: 51.

Правильный ответ: 51

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB и равны по условию.

По обратной теореме о вписанном угле точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Шаг 2. В этой окружности углы BCA и BDA опираются на одну хорду BA.

Вписанные углы на одну хорду равны ⟹ ∠BCA = ∠BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 12 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 10 · 12 = 120.

BE = √120 = 2√6.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√6.

Ответ: 2√6.

Правильный ответ: 2√6

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.