Загрузка заданий...

Вариант 970 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/60 R17.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.

Ответ: 245

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 245/60 R18?

Решение

В маркировке 245/60 R18 ширина шины равна 245 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 245 · 60 / 100 = 147 мм. Ответ: 147.

Ответ: 147

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/40 R19?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и нового колеса 275/40 R19. Ответ: 0.8.

Ответ: 0.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/60 R17 получаем диаметр 701.8 мм. Ответ: 701.8.

Ответ: 701.8

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/50 R17? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и колеса 275/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.7.

Ответ: 0.7

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{10} + 0,4 \cdot 1,75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{10} + 0,4 \cdot 1,75$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,4) \cdot 1,75 = 0,7$.

Шаг 2: $(\frac{1}{10}) + 0,7 = 0,8$.

Получили результат $0,8$.

Ответ: $0,8$.

Ответ: 0,8

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -3,4 и 3?
В ответе укажите номер правильного варианта.

3,875

$\sqrt{3}$

-4

$-\frac{102}{25}$

Решение

Сравним числа -3,4 и 3. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($\sqrt{3}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{99} + \sqrt{176})\sqrt{11}$$

Решение

Вычислим выражение: (√99 + √176)·√11.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √99 = 3√11, √176 = 4√11.

Тогда получаем (3√11 + 4√11)·√11 = 7√11·√11.

Так как √11·√11 = 11, имеем 7·11 = 77.

Ответ: 77.

Ответ: 77

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-8}{x + 3} = -1$$

Решение

Решим уравнение: -8/(x + 3) = -1

Область допустимых значений: x != -3.

Умножим обе части уравнения на x + 3:

-8 = -1(x + 3)

Раскроем скобки:

-8 = -1x - 3

Перенесём число в левую часть:

-5 = -1x

x = -5 / -1

x = 5

Проверка ОДЗ: x = 5, x != -3, условие выполняется.

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 40 билетов, Яша не выучил 27 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 13 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{13}{40}$ = 0,325.

Ответ: 0,325.

Ответ: 0,325

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) y = -2x - 4

2) y = 2x - 3

3) y = 2x - 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 539 Вт, а сила тока равна 7 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 539/(7²) = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 0,2 < 3,5 \\ 5x − 3,6 > 8,4 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (2,4;3,7). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 11 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 11, q = 3.

За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 11·3^5 = 2673 мг.

Ответ: 2673.

Ответ: 2673

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 12, sin ∠ABC = 1/4. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 6 · 12 · $\frac{1}{4}$ = $\frac{72}{8}$ = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 82°, угол CAD равен 40°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 82°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 82° + 40° = 122°.

Ответ: 122.

Ответ: 122

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 38°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.

Следовательно, острый угол равен 2 · 38° = 76°.

Ответ: 76.

Ответ: 76

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 8 и 4.

Большая диагональ равна 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+1)^4+(x+1)^2-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+1)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+t-6=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+3)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-3$, $t_2=2$.

Шаг 3. Берём только $t=2$.

Шаг 4. Решаем $(x+1)^2=2$:

$x+1=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=-1\pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-1-\sqrt{2};\quad -1+\sqrt{2}$.

Правильный ответ: -1-√2;-1+√2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 450 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 230 км — со скоростью 115 км/ч, а последние 120 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 450/90 = 5 ч,

t₂ = 230/115 = 2 ч,

t₃ = 120/40 = 3 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 450 + 230 + 120 = 800 км.

Шаг 3. Общее время: 5 + 2 + 3 = 10 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 800 / 10 = 80 км/ч.

Ответ: 80.

Правильный ответ: 80

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 6. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 6.

Проверка: при m = 6 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD = 11.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin30°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 11 · sin135°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin30° = 11 · sin135°.

AB = 11 · sin135°/sin30° (здесь sin135°/sin30° = √2).

AB = 11√2.

Ответ: 11√2.

Правильный ответ: 11√2

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. BC = 2·CD (по условию), K — середина BC.

Значит BC/2 = CD/2 ... нет: BC = BC, BC/2 = CD.

Шаг 2. В параллелограмме CD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном DK и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ DK — биссектриса угла ADC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 29, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 20 + 4... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 21, AB = 20, CD = 29, BC = 4.

Шаг 3. AD = BC + AB = 4 + 20 = 24.

S = (BC + AD)/2 · h = (4 + 24)/2 · 21 = 290.

Ответ: 290.

Правильный ответ: 290

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.