Загрузка заданий...

Вариант 975 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R14.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.

Ответ: 205

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/55 R15?

Решение

В маркировке 205/55 R15 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 205 · 55 / 100 = 112.75 мм. Ответ: 112.75.

Ответ: 112.75

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и нового колеса 195/55 R15. Ответ: 17.9.

Ответ: 17.9

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/60 R14 получаем диаметр 577.6 мм. Ответ: 577.6.

Ответ: 577.6

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/50 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и колеса 205/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 5.9.

Ответ: 5.9

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,003 + 0,8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,003 + 0,8$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,003) + 0,8 = 0,803$.

Ответ: $0,803$.

Ответ: 0,803

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами 1,5 и 3,04?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{229}{50}$

-2,96

$-\frac{12}{5}$

2,7

Решение

Сравним числа 1,5 и 3,04. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (2,7) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√3 · 3√5 · √15.

Перемножим коэффициенты: 5 · 3 = 15.

Подкоренные выражения дают: √3 · √5 · √15 = √(3·5·15) = √(225) = 15.

Тогда всё выражение равно 15 · 15 = 225.

Ответ: 225.

Ответ: 225

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 2 + 4(6x - 1) = -6x - 272

Решение

Решим уравнение: 2 + 4(6x - 1) = -6x - 272

Раскроем скобки:

2 + 4(6x - 1) = -6x - 272

2 + 24x - 4 = -6x - 272

Приведём подобные слагаемые в левой части:

24x - 2 = -6x - 272

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

30x = -270

Разделим обе части на 30:

x = -270 / 30

x = -9

Ответ: -9

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.375 и 0.625: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.3, по нижнему 0.625.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.375 · 0.3 = 0.1125.

Нижний путь: 0.625 · 0.625 = 0.390625.

Складываем: 0.1125 + 0.390625 = 0.503125.

Ответ: 0,503125

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 14 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 14 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·14² / 2 = 0,0098.

Ответ: 0,0098.

Ответ: 0,0098

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 4x < 0

x² - 4x > 0

x² - 16 < 0

x² - 16 > 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 16, q = 3.

За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.

Получаем массу 16·3^4 = 1296 мг.

Ответ: 1296.

Ответ: 1296

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 13/16, AB = 96. Найдите BC.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 96 · $\frac{13}{16}$ = 78.

Ответ: 78.

Ответ: 78

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 78°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

∠C = 180° - 78° = 102°.

Ответ: 102.

Ответ: 102

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Сторона ромба равна 36 / 4 = 9.

Площадь ромба равна a²·sin α.

S = 9² · sin 30° = 9² · $\frac{1}{2}$ = 40,5.

Ответ: 40,5.

Ответ: 40,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 4.

S = 7 · 4 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{2}{x-1}-3=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x-1}$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+2t-3=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+3)(t-1)=0$.

Корни: $t_1=-3$, $t_2=1$.

Шаг 3. Обратная замена:

Если $t=-3$: $x-1=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$.

Если $t=1$: $x-1=1\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne1$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{2}{3};\quad 2$.

Правильный ответ: 2/3;2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 69 км/ч, а вторую — со скоростью 111 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/69 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/111 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/69 + S/111) = 2 / ($\frac{1}{69}$ + 1/111).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·69·111 / (69 + 111) = 15318 / 180 = 85,1 км/ч.

Ответ: 85,1.

Правильный ответ: 85,1

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| - 4\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x - 4.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x - 4.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -4. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -4.

Проверка: при m = -4 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -4.

Правильный ответ: -4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(24² + 18²) = √900 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.

Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.

BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.

S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).

Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△APD) (общую часть):

S(△APB) = S(△CPD). ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−18, 0), D = (18, 0) (|AD| = 36).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (36, h). На прямой BE точка E = (0, 36 − h), так как BE = 36.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{36}{4}$ = 27.

Шаг 5. AB = √(h² + (18)²) = √(729 + 324) = 9√13;

BC = 2·AB = 18√13; CA = 27√5.

Ответ: 9√13; 18√13; 27√5.

Правильный ответ: 9√13; 18√13; 27√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.