График функции $y = |x|$

График y = |x|

Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.

Модуль — это расстояние

Потяните точку по прямой или подвигайте ползунок: синий отрезок — это и есть модуль, то есть расстояние от нуля до точки.

Теперь то же самое можно записать формулой. Если число неотрицательное, расстояние равно самому числу. Если отрицательное — надо поменять знак, чтобы получилось положительное расстояние:

Как получается график $y = |x|$

График — это все точки вида $(x;\,y)$, где $y = |x|$. Берём разные $x$, считаем модуль и ставим точку. Двигайте ползунок — точки будут накапливаться, и форма графика проявится сама.

Две части: $y = x$ и $y = -x$

«Галочка» — это не какая-то новая кривая. Это два куска обычных прямых, которые вы уже умеете строить. Всё дело в определении модуля: при $x \ge 0$ модуль равен самому числу, при $x < 0$ — числу с противоположным знаком.

Вершина, симметрия и $y \ge 0$

Самая низкая точка графика называется вершиной. У $y = |x|$ она находится в начале координат — в точке $(0;\,0)$. Подвигайте точку по правому лучу: слева автоматически появится её зеркальный близнец.

• Вершина графика — точка $(0;\,0)$.
• График симметричен относительно оси $Oy$.
• Значения $y$ всегда неотрицательны: $y \ge 0$.

Сдвиги: двигай график сам

График $y = |x - h| + k$ — та же «галочка», только переехавшая. Её вершина оказывается в точке $(h;\,k)$. Серым показан исходный график $y = |x|$ — так видно, куда именно уехала копия.

Знаки $h$ и $k$ без путаницы

Почему знак у $h$ «противный»

В формуле стоит минус: $y = |x - h|$. Поэтому $|x - 2|$ уезжает вправо, а $|x + 2|$ — влево, хотя интуиция подсказывает наоборот. Запоминать направления не нужно, есть надёжный способ: приравняйте выражение под модулем к нулю.

Сдвиг вверх и вниз

С числом за модулем всё честно: $+3$ поднимает график на 3, $-2$ опускает на 2. Здесь $h = 0$, меняется только $k$.

Поставь вершину

Теперь наоборот: дана цель, подберите формулу. Настройте $h$ и $k$ так, чтобы вершина графика попала в отмеченную точку.

Наименьшее значение

Модуль не бывает отрицательным, поэтому $|x - h| \ge 0$, и меньше, чем $k$, функция $y = |x - h| + k$ опуститься не может. Наименьшее значение достигается в вершине и равно $k$. На графике это видно сразу: проведите горизонтальный уровень через вершину — ниже него точек графика нет.

Уравнение $|x - h| = c$

Решить уравнение $|x - 2| = 3$ — значит найти, в каких точках график $y = |x - 2|$ находится на высоте 3. Нарисуем горизонтальную прямую $y = 3$ и посмотрим, где она пересекает «галочку».

Сколько корней: 2, 1 или 0

Подвигайте ползунок $c$ — горизонтальная прямая поедет вверх и вниз. Число корней меняется на глазах.

• $c > 0$ — прямая пересекает «галочку» дважды: два корня $x = h \pm c$.
• $c = 0$ — прямая проходит ровно через вершину: один корень $x = h$.
• $c < 0$ — прямая ниже вершины: корней нет.

Читаем график

На графике ниже построена функция $y = |x - 2| - 1$. Ответьте по чертежу.

Угадай формулу

Обратная задача — самая полезная. Посмотрите, где вершина, и выберите формулу.

Частые ошибки

Шпаргалка

$y = |x|$

• форма V, вершина $(0;\,0)$;
• симметрия относительно оси $Oy$;
• $y \ge 0$ всегда; $|x|$ — расстояние до нуля.

$y = |x - h| + k$

• вершина $(h;\,k)$; чтобы найти $h$, решите «под модулем = 0»;
• $h$ двигает вправо-влево, $k$ — вверх-вниз;
• наименьшее значение $= k$.

$|x - h| = c$

• $c > 0$ — два корня $x = h \pm c$;
• $c = 0$ — один корень $x = h$;
• $c < 0$ — корней нет.