Особый прямоугольный треугольник с углами $30°$, $60°$ и $90°$. У него есть «волшебное»
свойство: катет, лежащий против угла $30°$, ровно вдвое короче гипотенузы. Зная это,
многие задачи решаются в одно действие.
Пройти тему целиком
Прямоугольный треугольник 30-60-90
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
В прямоугольном треугольнике один угол равен $90°$. Сторона напротив прямого
угла — самая длинная, она называется гипотенузой. Две другие стороны
(образующие прямой угол) называются катетами.
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$
(ведь $180° - 90° = 90°$). Поэтому если один острый угол $30°$, то второй обязательно $60°$.
Гипотенуза всегда лежит против угла $90°$ и всегда длиннее любого катета.
Раздел 2
Главное свойство треугольника $30°$–$60°$–$90°$
Свойство
Катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
катет против $30°$ $=\dfrac{1}{2}\cdot$ гипотенуза
И наоборот: гипотенуза вдвое больше этого «короткого» катета.
гипотенуза $= 2\cdot$ (катет против $30°$)
Катет, лежащий против угла $30°$ (нижний), равен половине гипотенузы.
Важно: половина гипотенузы — это именно катет против $30°$
(самый короткий), а не любой катет.
Раздел 3
Почему катет — ровно половина гипотенузы
Идея с «отражением». Возьмём наш треугольник с углами $30°$, $60°$, $90°$
и приложим к нему такой же, отражённый по длинному катету. Два треугольника вместе
образуют один большой треугольник, у которого все углы равны $60°$ — то есть
равносторонний.
У равностороннего треугольника все стороны равны. Сторона этого большого
треугольника — это удвоенный короткий катет, и одновременно она равна гипотенузе.
Значит, гипотенуза равна двум коротким катетам, а короткий катет — половине гипотенузы.
Запоминалка: «маленький катет напротив маленького угла ($30°$) —
ровно половина самой длинной стороны».
Раздел 4
Как находить стороны
Дана гипотенуза — найти короткий катет
Короткий катет (против $30°$) = гипотенуза разделить на $2$.
Пример 1
Гипотенуза $14$ см, один из острых углов $30°$. Катет против него:
$14 : 2 = 7$ см.
Дан короткий катет — найти гипотенузу
Гипотенуза = короткий катет умножить на $2$.
Пример 2
Катет против угла $30°$ равен $6$ см. Гипотенуза: $6\cdot 2 = 12$ см.
Если в задаче дан угол $60°$, то катет против него — это длинный катет,
и он не равен половине гипотенузы. Половина гипотенузы — только катет против $30°$.
Раздел 5
Обратное свойство: находим угол
Обратное свойство
Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол,
лежащий против этого катета, равен $30°$.
Пример
В прямоугольном треугольнике катет $5$ см, гипотенуза $10$ см. Так как
$5 = \dfrac{10}{2}$, угол против этого катета равен $30°$, а третий угол $60°$.
Это удобно для проверки: увидел катет вдвое меньше гипотенузы —
сразу знаешь, что углы $30°$ и $60°$.
Раздел 6
Как решать задачи
Убедись, что треугольник прямоугольный и есть угол $30°$ (или $60°$).
Найди, где гипотенуза (против $90°$) и где короткий катет (против $30°$).
Если дана гипотенуза — короткий катет в $2$ раза меньше.
Если дан короткий катет — гипотенуза в $2$ раза больше.
Второй острый угол всегда дополняет данный до $90°$.
Задача
В прямоугольном треугольнике угол $60°$, гипотенуза $16$ см. Найдите катет,
лежащий против угла $30°$.
Раз есть угол $60°$, то второй острый угол $30°$. Катет против $30°$ равен половине
гипотенузы: $16 : 2 = 8$ см.
Ответ: $8$ см.
Раздел 7
Частые ошибки
Делят пополам не ту сторону. Половина гипотенузы — это катет против
угла $30°$, а не против $60°$.
Считают, что любой катет равен половине гипотенузы. Это верно только
для короткого катета (против $30°$).
Путают гипотенузу и катет. Гипотенуза лежит против прямого угла
и всегда самая длинная.
Забывают, что второй острый угол дополняет первый до $90°$:
если дан $30°$, второй $60°$, а не $90°$.
Умножают на $2$ вместо деления (или наоборот). Гипотенуза больше,
поэтому при переходе к ней умножаем, а к короткому катету — делим.
Раздел 8
Шпаргалка
Углы: $30°$, $60°$, $90°$ (сумма $180°$).
Гипотенуза — против прямого угла, самая длинная.
Катет против $30°$ $=\dfrac{1}{2}\cdot$ гипотенуза.
Гипотенуза $= 2\cdot$ (катет против $30°$).
Обратно: катет $=$ половина гипотенузы $\Rightarrow$ угол $30°$.