Если все четыре вершины четырёхугольника лежат на окружности, его называют
вписанным. У такого четырёхугольника есть «волшебное» свойство: сумма
противоположных углов всегда равна $180°$. Разберём это и соседнюю тему —
описанный четырёхугольник.
Пройти тему целиком
Вписанный четырёхугольник
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Четырёхугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины
лежат на этой окружности.
Все вершины $A$, $B$, $C$, $D$ — на окружности.
Не каждый четырёхугольник можно вписать в окружность. Вписать
можно только тот, у которого суммы противоположных углов равны $180°$.
Раздел 2
Сумма противоположных углов
Главное свойство
У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180°$.
$\angle A + \angle C = 180° \qquad \angle B + \angle D = 180°$
То есть углы, стоящие «напротив» друг друга, дополняют друг друга
до развёрнутого угла. Это работает в обе стороны: если суммы противоположных
углов равны $180°$, четырёхугольник можно вписать в окружность.
Раздел 3
Поиск противоположного угла
Если известен один угол, противоположный находим вычитанием из $180°$:
$\angle C = 180° - \angle A$
Пример
Угол $A$ вписанного четырёхугольника равен $70°$. Тогда
$\angle C = 180° - 70° = 110°$.
У параллелограмма противоположные углы равны. А у вписанного они в сумме
дают $180°$. Значит каждый угол равен $\dfrac{180°}{2} = 90°$ — параллелограмм
оказывается прямоугольником.
В окружность можно вписать только такой параллелограмм, который
является прямоугольником (или квадратом).
Раздел 5
Описанный четырёхугольник
Описанный четырёхугольник
Это четырёхугольник, у которого все стороны касаются одной окружности
(окружность вписана внутрь него).
Теорема Пито
У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны.
$AB + CD = BC + AD$
Пример
Известно: $AB = 5$, $BC = 4$, $CD = 6$. Найдём $AD$:
$AD = AB + CD - BC = 5 + 6 - 4 = 7$.
Не путай: у вписанного работают углы ($A+C=180°$),
а у описанного — стороны ($AB+CD=BC+AD$).
Раздел 6
Вписанные углы и дуги
Поскольку вершины лежат на окружности, углы при них — вписанные.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.