Загрузка заданий...

Вариант 106 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R15.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.

Ответ: 185

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/55 R15?

Решение

В маркировке 205/55 R15 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 205 · 55 / 100 = 112.75 мм. Ответ: 112.75.

Ответ: 112.75

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/45 R17?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R15 и нового колеса 205/45 R17. Ответ: 13.3.

Ответ: 13.3

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/60 R15 получаем диаметр 603 мм. Ответ: 603.

Ответ: 603

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/45 R17? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R15 и колеса 205/45 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.2.

Ответ: 2.2

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{50} : \frac{1}{25} \cdot 8,75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{50} : \frac{1}{25} \cdot 8,75$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{50}) : \frac{1}{25} = 0,5$.

Шаг 2: $(0,5) \cdot 8,75 = 4,375$.

Получили результат $4,375$.

Ответ: $4,375$.

Ответ: 4,375

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

-2 - a > 0

a > -1

-2 - a < 0

Решение

По чертежу видно, что -2 < a < -1.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) -2 - a > 0 ⇔ a < -2 — неверно.

3) a > -1 ⇔ a > -1 — неверно.

4) -2 - a < 0 ⇔ a > -2 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 2)(\sqrt{8} + 2)$$

Решение

Вычислим выражение: (√8 - 2)(√8 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√8)² - 2² = 8 - 4 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 5x - 14 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 5x - 14 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -5, c = -14.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -5² - 4·1·-14 = 81.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (5 - √81) / 2 = -2

x₂ = (5 + √81) / 2 = 7

Ответ: -2;7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $\overline{A} \cup B$.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,8.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 7,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 393,75 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 393,75/(7,5²) = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 8x < 0

x² - 8x > 0

x² - 64 < 0

x² - 64 > 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 17 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 17, q = 3.

За 60 минут пройдёт 3 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 17·3^3 = 459 мг.

Ответ: 459.

Ответ: 459

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 126°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.

Сумма углов при основании равна 180° - 126° = 54°.

Каждый из них равен 54° : 2 = 27°.

Ответ: 27.

Ответ: 27

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 9.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 9 = 18.

S = a² = 18² = 324.

Ответ: 324.

Ответ: 324

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 50°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Значит сумма равных углов равна 50°, каждый из них равен 25°.

Искомый угол: 155°.

Ответ: 155.

Ответ: 155

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.

Катеты равны 4 и 6.

Больший катет равен 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Все углы ромба равны.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-4)^4-4(x-4)^2-21=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: уравнение биквадратное по $(x-4)$. Делаем замену $t=(x-4)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены $(x-4)^4=t^2$ и $(x-4)^2=t$. Уравнение:

$t^2-4t-21=0$.

Шаг 2. Дискриминант: $D=16+84=100$, $\sqrt{D}=10$.

$t_1=\dfrac{4+10}{2}=7,\quad t_2=\dfrac{4-10}{2}=-3$.

Шаг 3. Так как $t=(x-4)^2\ge0$, значение $t=-3$ не подходит. Берём $t=7$.

Шаг 4. Решаем $(x-4)^2=7$:

$x-4=\pm\sqrt{7}\Rightarrow x=4\pm\sqrt{7}$.

Ответ: $4-\sqrt{7};\quad 4+\sqrt{7}$.

Правильный ответ: 4-√7;4+√7

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 1. По течению: x + 1.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 2 ч больше):

255/(x − 1) − 255/(x + 1) = 2.

Шаг 3. Умножаем на (x−1)(x+1) = x²−1:

255(x+1) − 255(x−1) = 2(x²−1).

Шаг 4. Левая часть: 255·2·1 = 510. Получаем квадратное уравнение:

2x² − 510 − 2 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 16.

Шаг 6. Проверка: 255/15 = 17 ч, 255/17 = 15 ч, разность 2 ч. ✓

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}3x-3,& x<2,\\-3x+8{,}5,& 2\le x\le 3,\\3{,}5x-11,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-0,5}∪(2,5;3).

Ответ: {-0,5}∪(2,5;3).

Правильный ответ: {-0,5}∪(2,5;3)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол вписанный в диаметр = 90° — точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.

Шаг 1. Так как BH — диаметр, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен 90°.

Значит ∠BPH = 90° и ∠BKH = 90°, то есть P и K — основания перпендикуляров из H.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из B.

Четырёхугольник BPHK — прямоугольник (у него все углы прямые).

Шаг 3. В прямоугольнике PK = BH (противоположные стороны).

PK = BH = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. O₁X = O₁Y (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка O₁ равноудалена от X и Y

⟹ O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY.

Шаг 2. O₂X = O₂Y (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка O₂ тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая O₁O₂ совпадает с серединным перпендикуляром к XY.

Следовательно, O₁O₂ ⟂ XY. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−12, 0), D = (12, 0) (|AD| = 24).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (24, h). На прямой BE точка E = (0, 24 − h), так как BE = 24.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{24}{4}$ = 18.

Шаг 5. AB = √(h² + (12)²) = √(324 + 144) = 6√13;

BC = 2·AB = 12√13; CA = 18√5.

Ответ: 6√13; 12√13; 18√5.

Правильный ответ: 6√13; 12√13; 18√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.