Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 150 мин., 300 мин., 175 мин., 375 мин.
Исходящие вызовы
150 мин.
300 мин.
175 мин.
375 мин.
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3517.
Ответ: 3517
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в августе?
Решение
По условию и ключу источника расходы в августе составляют 425 руб. Ответ: 425.
Ответ: 425
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?
Решение
Ровно 350 рублей абонент платил в месяцы, когда не было доплат сверх пакетов. Таких месяцев четыре. Ответ: 4.
Ответ: 4
4Задание 41 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» выросла на 75% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
350 руб. — это 175% от платы 2018 года. Значит, плата 2018 года: 350 : 1,75 = 200 руб. Ответ: 200.
Ответ: 200
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
470 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
160 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф не выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
Ответ: 350
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,5 \cdot 7,5 - 0,075$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,5 \cdot 7,5 - 0,075\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,5) \cdot 7,5 = 3,75\).
Шаг 2: \((3,75) - 0,075 = 3,675\).
Ответ: \(3,675\).
Ответ: 3,675
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
a - 4 < 0
2
\(\frac{1}{a} < 0\)
3
a > 4
4
a - 3 < 0
Решение
По чертежу видно, что 3 < a < 4.
Проверим варианты ответа:
1) a - 4 < 0 ⇔ a < 4 — верно.
2) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
3) a > 4 ⇔ a > 4 — неверно.
4) a - 3 < 0 ⇔ a < 3 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{27} + \sqrt{27})\sqrt{3}$$
Найдите корни уравнения:
x2 - 15x + 54 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 15x + 54 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -15, c = 54.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -15² - 4·1·54 = 9.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (15 - √9) / 2 = 6
x₂ = (15 + √9) / 2 = 9
Ответ: 6;9
Ответ: 6;9
10Статистика, вероятности1 балл
В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 69 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 100.
Благоприятных исходов: 31 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 31/100 = 0,31.
Ответ: 0,31.
Ответ: 0,31
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = 2x² + 14x + 24
Б) y = 1/x
В) y = 1x + 1
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 6 с-1, а центростремительное ускорение равно 216 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 216/(6²) = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-8x + 4 > -3x - 4
1
(1,6;+∞)
2
(-∞;1,6)
3
(-∞;0)
4
(-1,6;+∞)
Решение
Решим неравенство: -8x + 4 > -3x - 4.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -5x < -8.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -5: x < 1,6.
Значит, x меньше 1,6.
Этому соответствует промежуток (-∞;1,6).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 6-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 7-го уже меньше.
Ответ: 7.
Ответ: 7
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 3/5, AB = 10. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 10 · \(\frac{3}{5}\) = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
16Окружность, круг и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 12, BC = 5, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.
По теореме Пифагора AB = 13.
Следовательно, R = AB / 2 = 13 / 2 = 6,5.
Ответ: 6,5.
Ответ: 6,5
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов параллелограмма равен 111°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Соседние углы параллелограмма supplementary.
Искомый угол равен 180° - 111° = 69°.
Ответ: 69.
Ответ: 69
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 9 и 3.
Искомое отношение площадей равно (9 / 3)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 20%. Сколько сухих фруктов получится из 305 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 305 кг свежих фруктов:
305 · 16/100 = 48,8 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 20% воды, значит сухого вещества 80%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,80·x = 48,8.
x = 48,8 / 0,80 = 61 кг.
Ответ: 61.
Правильный ответ: 61
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+0,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+0,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-1,25; -1; 1 \).
Ответ: \( -1,25; -1; 1 \).
Правильный ответ: -1,25; -1; 1
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 26, BC = 16, CF : DF = 3 : 2.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 3:2 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 3:2 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √35/6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 9 · 35 = 315.
AT = √315.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 26 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{35}{6}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
