Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
594
420
2
420
297
3
1189
841
4
210
148
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.
Ответ: 3124
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?
Решение
Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.
Ответ: 8
3Задание 31 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.
Ответ: 210
4Задание 41 балл
Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.
Ответ: 1.4
5Задание 51 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.
Ответ: 11
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$2,5 \cdot \frac{7}{50} + 0,6$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(2,5 \cdot \frac{7}{50} + 0,6\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((2,5) \cdot \frac{7}{50} = 0,35\).
Шаг 2: \((0,35) + 0,6 = 0,95\).
Получили результат \(0,95\).
Ответ: \(0,95\).
Ответ: 0,95
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одно из чисел \(\frac{-15}{4}\), 0,8, 3,5, \(\sqrt{28}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{-15}{4}\)
2
0,8
3
3,5
4
\(\sqrt{28}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 0 и 1.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-15}{4}\) ≈ -3,75
2) 0,8 ≈ 0,8
3) 3,5 ≈ 3,5
4) \(\sqrt{28}\) ≈ 5,2915
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^2)^3$$
Решение
Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^2)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^3 = 7^6.
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на -5.
Получим:
\((-5x - 8y = -6) \cdot 6\): -30x - 48y = -36
\((6x + 3y = -6) \cdot -5\): -30x - 15y = 30
Вычтем второе уравнение из первого:
-33y = -66
y = -66 / -33 = 2
Подставим y = 2 в первое уравнение:
-5x - 8y = -6
Получаем x = -2.
Ответ: (-2;2)
Ответ: -2;2
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(A \cap B\).
Решение
Всего исходов: 40. Вероятность события \(A \cap B\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=8/40=0,2\).
Ответ: 0,2
Ответ: 0,2
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) y = -3x - 4
Б) y = 2x - 2
В) y = -1x
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 13 колец.
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (1;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 18 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 18, d = -5.
Последний положительный член прогрессии равен 3, значит секунд движения до полной остановки было 4.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 4·(18 + 3)/2 = 42.
Ответ: 42.
Ответ: 42
15Треугольники и их элементы1 балл
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 29, сторона BC равна 66, сторона AC равна 74. Найдите MN.
Решение
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией.
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
Поэтому MN = AC : 2 = 74 : 2 = 37.
Ответ: 37.
Ответ: 37
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 10, BC = 13, CD = 23. Найдите AD.
Решение
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
То есть AB + CD = BC + AD.
AD = AB + CD - BC = 10 + 23 - 13 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов параллелограмма равен 41°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Соседние углы параллелограмма supplementary.
Искомый угол равен 180° - 41° = 139°.
Ответ: 139.
Ответ: 139
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 5 и 9, высота равна 5.
S = (5 + 9) / 2 · 5 = 35.
Ответ: 35.
Ответ: 35
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Вертикальные углы равны.
2
Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
3
Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Верно.
2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.
3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 9 · 11 = 99.
AT = √99.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 2 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{11}{6}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
