Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
Номер печи
Тип
Объём помещения (куб. м)
Масса (кг)
Стоимость (руб.)
1
дровяная
8—12
40
18 000
2
дровяная
10—16
48
19 500
3
электрическая
9—15,5
15
15 000
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
Стоимость (руб.)
15 000
19 500
18 000
Номер печи
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
Ответ: 321
2Задание 21 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.
Ответ: 7.7
3Задание 31 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
Ответ: 4500
4Задание 41 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
Ответ: 17550
5Задание 51 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
По рисунку половина ширины кожуха равна 30 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 40 см. Радиус: R = √(30² + 40²) = √2500 = 50 см. Ответ: 50.
Ответ: 50
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$5 - 1,75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(5 - 1,75\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((5) - 1,75 = 3,25\).
Ответ: \(3,25\).
Ответ: 3,25
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число -0,68?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
A
2
B
3
C
4
D
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число -0,68 по своему значению совпадает с точкой B.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 3)(\sqrt{8} + 3)$$
Решение
Вычислим выражение: (√8 - 3)(√8 + 3).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√8)² - 3² = 8 - 9 = -1.
Ответ: -1.
Ответ: -1
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: 6x + 14 = 50
Решение
Решим уравнение: 6x + 14 = 50
Перенесём 14 в правую часть:
6x = 50 - 14
6x = 36
Разделим обе части на 6:
x = 36 / 6
x = 6
Ответ: 6
Ответ: 6
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cup B\).
Решение
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,95.
Ответ: 0,95
Ответ: 0,95
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b > 0
2) k > 0, b < 0
3) k < 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 3 920 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 3 920/(9,8·40) = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
3x - x2 < 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 3x - x² = x(3 - x). Нули: 0 и 3. Верное решение: (-∞;0) ∪ (3;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 19, d = 3, n = 13.
Сначала найдём последний ряд: a13 = 19 + (13 - 1)·3 = 55.
Сумма первых 13 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 13·(19 + 55)/2 = 481.
Ответ: 481.
Ответ: 481
15Треугольники и их элементы1 балл
Биссектриса равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 12√3.
Отсюда a / 2 = 12, значит a = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Решение
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.
Поэтому радиус равен половине стороны: r = 56 / 2 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 3 + 8 = 11.
S = 11 · 4 = 44.
Ответ: 44.
Ответ: 44
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 12 и 4.
Большая диагональ равна 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Диагонали параллелограмма равны.
2
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
3
Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.
Идея: числитель \(-11<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x-2)^2-3<0\).
Шаг 2. \((x-2)^2<3\).
Шаг 3. \(-\sqrt{3}<x-2<\sqrt{3}\).
Шаг 4. Прибавляем 2: \(2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}\).
Ответ: \((2-\sqrt{3};\; 2+\sqrt{3})\).
Правильный ответ: (2-√3;2+√3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 24% воды, значит сухого вещества 76%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 42 кг сухих фруктов:
42 · 76/100 = 31,92 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,14·x = 31,92.
x = 31,92 / 0,14 = 228 кг.
Ответ: 228.
Правильный ответ: 228
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-1/9 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-1/9 \), откуда \( k=81 \).
Ответ: 81.
Правильный ответ: 81
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 1, AC = 5.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
1² + r² = (5 − r)².
1 + r² = 25 − 10r + r².
10r = 25 − 1 = 24.
r = \(\frac{24}{10}\) = 2.4.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{24}{5}\) = 4,8.
Ответ: 4,8.
Правильный ответ: 4,8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.
Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):
∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.
Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 18° и 72°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 18° + 72° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 19 и 17.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 19 и (b-a)/2 = 17 (или наоборот).
