Загрузка заданий...

Вариант 1237 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 13.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.

Исходящие вызовы	375 мин.	150 мин.	275 мин.	300 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 7325.

Ответ: 7325

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?

Решение

По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.

Ответ: 500

3 Задание 3 1 балл

Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?

Решение

По графику минимальный трафик мобильного интернета равен 1 ГБ. Ответ: 1.

Ответ: 1

4 Задание 4 1 балл

В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?

Решение

В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.

Ответ: 40

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?

Решение

Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.

Ответ: 880

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$75 \cdot 5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $75 \cdot 5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(75) \cdot 5 = 375$.

Ответ: $375$.

Ответ: 375

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{\sqrt{6}}{2}$, $\sqrt{5}$, 2,4, $\frac{40}{9}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sqrt{5}$

2,4

$\frac{40}{9}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ≈ 1,2247

2) $\sqrt{5}$ ≈ 2,2361

3) 2,4 ≈ 2,4

4) $\frac{40}{9}$ ≈ 4,4444

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√5 · 4√3 · √15.

Перемножим коэффициенты: 5 · 4 = 20.

Подкоренные выражения дают: √5 · √3 · √15 = √(5·3·15) = √(225) = 15.

Тогда всё выражение равно 20 · 15 = 300.

Ответ: 300.

Ответ: 300

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + y = -8 \\ -6x - 8y = 58 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

x + y = -8

-6x - 8y = 58

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на 1.

Получим:

$(x + y = -8) \cdot -6$: -6x - 6y = 48

$(-6x - 8y = 58) \cdot 1$: -6x - 8y = 58

Вычтем второе уравнение из первого:

2y = -10

y = -10 / 2 = -5

Подставим y = -5 в первое уравнение:

x + y = -8

Получаем x = -3.

Ответ: (-3;-5)

Ответ: -3;-5

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, 3 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 150.

Благоприятных исходов: 147 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 147/150 = 0,98.

Ответ: 0,98.

Ответ: 0,98

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k > 0, b < 0

Б) k > 0, b > 0

В) k < 0, b > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 9 Вт, а сила тока равна 1,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 9/(1,5²) = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

4x + 3 ≥ -3x - 4

[0;+∞)

(-∞;-7]

[-1;+∞)

(-∞;1]

Решение

Решим неравенство: 4x + 3 >= -3x - 4.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 7x >= -7.

Делим обе части на 7: x >= -1.

Значит, x больше или равно -1.

Этому соответствует промежуток [-1;+∞).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 24 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 24, d = -5.

Последний положительный член прогрессии равен 4, значит секунд движения до полной остановки было 5.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 5·(24 + 4)/2 = 70.

Ответ: 70.

Ответ: 70

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 14 · 23 = 322/2 = 161.

Ответ: 161.

Ответ: 161

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 7, CD = 22. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 12 + 22 - 7 = 27.

Ответ: 27.

Ответ: 27

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Значит сумма равных углов равна 220°, каждый из них равен 110°.

Искомый угол: 70°.

Ответ: 70.

Ответ: 70

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 12 и 2.

S = 12 · 2 / 2 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $15a-3b+17$, если $\dfrac{3a-6b+5}{6a-3b+5}=3$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $15a-3b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-6b+5 = 3(6a-3b+5)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-6b+5 = 18a-9b+15$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 15a-3b+10$, откуда $15a-3b = -10$.

Шаг 4. Вычисляем: $15a-3b+17 = -10+17 = 7$.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 26 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 217 км, скорость первого велосипедиста равна 21 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.

Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.

Шаг 2. Первый сделал остановку 26 мин = $\frac{13}{30}$ ч, поэтому его время движения: t − $\frac{13}{30}$.

Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:

21·(t − $\frac{13}{30}$) + 30·t = 217.

Шаг 4. Раскрываем: (21 + 30)·t = 217 + 21·$\frac{13}{30}$ = 2261/10.

t = 2261/10 / 51 = 133/30 ч.

Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:

30 · 133/30 = 133 км.

Ответ: 133.

Правильный ответ: 133

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+4,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-4; 4; 5 $.

Ответ: $ -4; 4; 5 $.

Правильный ответ: -4; 4; 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 15 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 15 + 2 = 17.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 17 и катетом DH = 15.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(17² − 15²) = √(64) = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка I равноудалена от A и B

⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.

Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 5 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 7. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 5 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 13 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·5 = 10.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 720.

Ответ: 720.

Правильный ответ: 720

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.