Загрузка заданий...
Вариант 1238 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 13.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R14.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.
Ответ: 205
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/55 R15?
Решение
В маркировке 205/55 R15 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 205 · 55 / 100 = 112.75 мм. Ответ: 112.75.
Ответ: 112.75
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и нового колеса 195/55 R15. Ответ: 17.9.
Ответ: 17.9
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/60 R14 получаем диаметр 577.6 мм. Ответ: 577.6.
Ответ: 577.6
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/50 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и колеса 205/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 5.9.
Ответ: 5.9
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$2 : 6,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(2 : 6,25\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((2) : 6,25 = 0,32\).
Ответ: \(0,32\).
Ответ: 0,32
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -0,2 и 4,375?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -0,2 и 4,375. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(\frac{31}{50}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{10} \cdot 6\sqrt{5} \cdot \sqrt{50}$$
Решение
Вычислим выражение: 6√10 · 6√5 · √50.
Перемножим коэффициенты: 6 · 6 = 36.
Подкоренные выражения дают: √10 · √5 · √50 = √(10·5·50) = √(2500) = 50.
Тогда всё выражение равно 36 · 50 = 1800.
Ответ: 1800.
Ответ: 1800
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(-7x - 7)}{6} - \frac{(9x - 9)}{4} - 3x = -31$$
Решение
Решим уравнение: (-7x - 7)/6 - (9x - 9)/4 - 3x = -31
Домножим обе части на НОК знаменателей 6 и 4, то есть на 12.
Получим:
(-14x - 14) - (27x - 27) - 36x = -372
Приведём подобные слагаемые:
-77x + 13 = -372
Перенесём число в правую часть:
-77x = -385
Разделим обе части на -77:
x = -385 / -77
x = 5
Ответ: 5
Ответ: 5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 3 чёрных, 17 жёлтых и 5 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 17 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{17}{25}\) = 0,68.
Ответ: 0,68.
Ответ: 0,68
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = 1x + 1
Б) y = 2x² + 14x + 24
В) y = 1/x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 867 Вт, а сила тока равна 8,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 867/(8,5²) = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} -2 − 2x < -10 \\ x − 0,7 < 6,7 \end{cases}$$
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (4;7,4). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 320, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 4/15, AB = 45. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 45 · \(\frac{4}{15}\) = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
R = 20√3 · √3 / 3 = \(\frac{60}{3}\) = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 40°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.
Следовательно, острый угол равен 2 · 40° = 80°.
Ответ: 80.
Ответ: 80
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 10 и 5.
Искомое отношение площадей равно (10 / 5)² = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(5a-23b+18\), если \(\dfrac{5a-2b+3}{2a-5b+3}=5\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(5a-23b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(5a-2b+3 = 5(2a-5b+3)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(5a-2b+3 = 10a-25b+15\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 5a-23b+12\), откуда \(5a-23b = -12\).
Шаг 4. Вычисляем: \(5a-23b+18 = -12+18 = 6\).
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.
Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость против течения: x − 1. По течению: x + 1.
Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 2 ч больше):
255/(x − 1) − 255/(x + 1) = 2.
Шаг 3. Умножаем на (x−1)(x+1) = x²−1:
255(x+1) − 255(x−1) = 2(x²−1).
Шаг 4. Левая часть: 255·2·1 = 510. Получаем квадратное уравнение:
2x² − 510 − 2 = 0.
Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 16.
Шаг 6. Проверка: 255/15 = 17 ч, 255/17 = 15 ч, разность 2 ч. ✓
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+2,25)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+2,25,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-3; 3; 3,25 \).
Ответ: \( -3; 3; 3,25 \).
Правильный ответ: -3; 3; 3,25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 32 и 60. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(32² + 60²) = √4624 = 68.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 32·\(\frac{60}{2}\) = 960.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 68·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 68·h/2 = 960 ⟹ h = 32·\(\frac{60}{68}\) = 480/17.
Ответ: 480/17.
Правильный ответ: 480/17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов B и C перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠B + ∠C = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠B/2 + ∠C/2 = 90°.
Значит в △M (треугольник при пересечении биссектрис) угол при M равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла B.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до M равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем M — середина AD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 4 и 60 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=4 и R=60.
O₁O₂ = r + R = 64 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(60·4) = 2√240 = 8√15.
Ответ: 8√15.
Правильный ответ: 8√15
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.