Загрузка заданий...
Вариант 124 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.
Получаем последовательность: 3517.
Ответ: 3517
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.
Ответ: 9.
Ответ: 9
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.
Ответ: 6.
Ответ: 6
4
Задание 4
1 балл
Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?
Решение
Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.
Ответ: 10.
Ответ: 10
5
Задание 5
1 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 18 000 руб. | 13 896 руб. | 1,6 куб. м/ч | 4,7 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 15 000 руб. | 9 000 руб. | 4,7 кВт | 4,4 руб./(кВт·ч) |
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.
Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.
Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.
Ответ: 600.
Ответ: 600
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : 0,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} : 0,25\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) : 0,25 = 2\).
Получили результат \(2\).
Ответ: \(2\).
Ответ: 2
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел \(\frac{-13}{6}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 3,47, \(\sqrt{15}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 3 и 4.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-13}{6}\) ≈ -2,1667
2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ≈ 0,866
3) 3,47 ≈ 3,47
4) \(\sqrt{15}\) ≈ 3,873
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5^{-2} \cdot (5^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 5^(-2) · (5^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^2)^2 = 5^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-2 · 5^4 = 5^2.
Получаем 5^2 = 25.
Ответ: 25.
Ответ: 25
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-2}{x + 4} = 1$$
Решение
Решим уравнение: -2/(x + 4) = 1
Область допустимых значений: x != -4.
Умножим обе части уравнения на x + 4:
-2 = 1(x + 4)
Раскроем скобки:
-2 = 1x + 4
Перенесём число в левую часть:
-6 = 1x
x = -6 / 1
x = -6
Проверка ОДЗ: x = -6, x != -4, условие выполняется.
Ответ: -6
Ответ: -6
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события B.
Решение
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события B: 5.
\(P=5/8=0,625\).
Ответ: 0,625
Ответ: 0,625
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b > 0
2) k < 0, b < 0
3) k > 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 17 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0002 и U = 17 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·17² / 2 = 0,0289.
Ответ: 0,0289.
Ответ: 0,0289
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
6x + 5 > 4x - 4
Решение
Решим неравенство: 6x + 5 > 4x - 4.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x > -9.
Делим обе части на 2: x > -4,5.
Значит, x больше -4,5.
Этому соответствует промежуток (-4,5;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 6,3 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.
После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.
Ответ: 7.
Ответ: 7
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 20, BC = 7, sin ∠ABC = 2/5. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
S = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.
S = \(\frac{1}{2}\) · 20 · 7 · \(\frac{2}{5}\) = 280/10 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 5√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.
Значит, a = 2r√3 = 2 · 5√3 · √3 = 30.
Ответ: 30.
Ответ: 30
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Значит сумма равных углов равна 220°, каждый из них равен 110°.
Искомый угол: 70°.
Ответ: 70.
Ответ: 70
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 10.
Средняя линия равна 10 / 2 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2-2x=y,\\3x-2=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба выражения равны \(y\) — приравниваем их между собой.
Шаг 1. Из системы следует \(3x^2-2x=3x-2\).
Шаг 2. Переносим всё в левую часть:
\(3x^2-2x-3x+2=0\Rightarrow 3x^2-5x+2=0\).
Шаг 3. Дискриминант: \(D=25-24=1\), \(\sqrt{D}=1\).
\(x_1=\dfrac{5+1}{6}=1,\quad x_2=\dfrac{5-1}{6}=\dfrac{2}{3}\).
Шаг 4. Находим \(y\) для каждого \(x\):
При \(x=1\): \(y=3\cdot1-2=1\).
При \(x=\dfrac{2}{3}\): \(y=3\cdot\dfrac{2}{3}-2=0\).
Ответ: \(\left(\dfrac{2}{3};\,0\right);\ (1;\,1)\).
Правильный ответ: (2/3;0);(1;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 10) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: первым — 60/x ч, вторым — 60/(x−10) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:
60/(x−10) − 60/x = 3.
Шаг 4. Умножаем на x(x−10):
60·x − 60·(x−10) = 3·x·(x−10).
600 = 3·x² − 30·x.
3x² − 30x − 600 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 30² + 4·3·600 = 900 + 7200 = 8100, √D = 90.
x = (30 + 90) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первый — \(\frac{60}{20}\) = 3 ч, второй — \(\frac{60}{10}\) = 6 ч.
6 − 3 = 3 = 3. ✓
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 5.
Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 62° и 88°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.
Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 62° − 88° = 30°.
Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·17·(\(\frac{1}{2}\)) = 17.
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.
BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.
S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).
Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△AOD) (общую часть):
S(△AOB) = S(△COD). ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 18, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.
Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.
Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.
В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.
Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:
dist(K, AB) = dist(K, AD) = 3.
Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:
dist(K, AB) = dist(K, BC) = 3.
Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:
dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 3 + 3 = 6.
Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 18 · 6 = 108.
Ответ: 108.
Правильный ответ: 108
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.