Загрузка заданий...
Вариант 1311 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
Ответ: 321
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.
Ответ: 7.7
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
Ответ: 4500
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
Ответ: 17550
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
Ответ: 50
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} : \frac{4}{9}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} : \frac{4}{9}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{5}) \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{2}\).
Шаг 2: \((\frac{1}{2}) : \frac{4}{9} = \frac{9}{8}\).
Получили дробь \(\frac{9}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,125\).
Ответ: \(1,125\).
Ответ: 1,125
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами \(-\frac{41}{20}\) и 0,25?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа \(-\frac{41}{20}\) и 0,25. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (-0,5) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(3\sqrt{5})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (3√5)².
Используем свойство степени произведения: (3√5)² = 3² · (√5)².
Получаем 9 · 5 = 45.
Ответ: 45.
Ответ: 45
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -8x - 3y = 9 \\ 6x + y = -13 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-8x - 3y = 9
6x + y = -13
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на -8.
Получим:
\((-8x - 3y = 9) \cdot 6\): -48x - 18y = 54
\((6x + y = -13) \cdot -8\): -48x - 8y = 104
Вычтем второе уравнение из первого:
-10y = -50
y = -50 / -10 = 5
Подставим y = 5 в первое уравнение:
-8x - 3y = 9
Получаем x = -3.
Ответ: (-3;5)
Ответ: -3;5
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 40 билетов, Егор не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 35 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{35}{40}\) = 0,875.
Ответ: 0,875.
Ответ: 0,875
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k > 0, b > 0
Б) k < 0, b < 0
В) k > 0, b < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2400 кг обладает кинетической энергией 346,8 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 346,8·1000 = 346 800 Дж.
v = √(2·346 800/2400) = 17.
Ответ: 17.
Ответ: 17
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
x - 2 < 6x + 4
Решение
Решим неравенство: x - 2 < 6x + 4.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -5x > 6.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -5: x > -1,2.
Значит, x больше -1,2.
Этому соответствует промежуток (-1,2;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 240, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 4, AC = 28. Найдите tg B.
Решение
В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.
tg B = AC / BC = \(\frac{28}{4}\) = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 19°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.
∠AOB = 2 · 19° = 38°.
Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.
Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.
∠AOD = 180° - 38° = 142°.
Ответ: 142.
Ответ: 142
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание, если высота равна 5, меньшее основание равно 7, а угол при основании равен 45°.
Решение
При угле 45° каждый из двух боковых прямоугольных треугольников имеет горизонтальный катет, равный высоте.
Прибавляем по 5 с каждой стороны к меньшему основанию: 7 + 2·5 = 17.
Ответ: 17.
Ответ: 17
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(35a-43b+36\), если \(\dfrac{7a-6b+5}{6a-7b+5}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(35a-43b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(7a-6b+5 = 7(6a-7b+5)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(7a-6b+5 = 42a-49b+35\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 35a-43b+30\), откуда \(35a-43b = -30\).
Шаг 4. Вычисляем: \(35a-43b+36 = -30+36 = 6\).
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч, стоянка длится 1 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.
По течению: 19 + x. Против течения: 19 − x.
Шаг 2. Составляем уравнение:
176/(19+x) + 1 + 176/(19−x) = 20.
Шаг 3. Переносим стоянку: 176/(19+x) + 176/(19−x) = 19.
Шаг 4. Умножаем на (19+x)(19−x) = 361−x²:
176(19−x) + 176(19+x) = 19(361−x²).
Шаг 5. Левая часть: 2·176·19 = 6688. Квадратное уравнение относительно x.
Шаг 6. Решение: x = 3.
Шаг 7. Проверка: 8 + 1 + 11 = 20. ✓
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+0,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+0,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-1,25; -1; 1 \).
Ответ: \( -1,25; -1; 1 \).
Правильный ответ: -1,25; -1; 1
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 12, DC = 24, AC = 27.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = \(\frac{12}{24}\) = \(\frac{1}{2}\).
Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 2.
Одна «часть» = AC / (2+1) = 27 / 3 = 9.
Шаг 3. MC = 2 · 9 = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=25 и R=100.
O₁O₂ = r + R = 125 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(100·25) = 2√2500 = 100.
Ответ: 100.
Правильный ответ: 100
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.