Загрузка заданий...

Вариант 1312 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	гараж	баня	жилой дом	яблони
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: гараж — 2, баня — 4, жилой дом — 7, яблони — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: гараж, баня, жилой дом, яблони.

Получаем последовательность: 2473.

Ответ: 2473

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 4 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

На все дорожки нужно 25 плиток.

В одной упаковке 4 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 4⌉ = 7 упаковок.

Ответ: 7.

Ответ: 7

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь открытого грунта огорода (вне теплицы). Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Площадь огорода равна 120 кв. м, площадь теплицы — 12 кв. м. Площадь открытого грунта: 120 - 12 = 108 кв. м.

Ответ: 108.

Ответ: 108

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?

Решение

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью теплицы: (48 - 12) / 12 · 100% = 300%.

Ответ: 300.

Ответ: 300

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	22 000 руб.	20 105 руб.	1,5 куб. м/ч	4,9 руб./куб. м
Электр. отопление	19 000 руб.	16 000 руб.	4,9 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 42105 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 35000 руб.

Разница в начальных расходах: 42105 - 35000 = 7105 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,5 · 4,9 = 7,35 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,4 = 21,56 руб./ч.

Экономия за час: 21,56 - 7,35 = 14,21 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7105 / 14,21 = 500.

Ответ: 500.

Ответ: 500

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$17,5 - 0,12$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $17,5 - 0,12$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(17,5) - 0,12 = 17,38$.

Ответ: $17,38$.

Ответ: 17,38

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

-8 - a < 0

-a < 7

a + 8 < 0

Решение

По чертежу видно, что -8 < a < -7.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) -8 - a < 0 ⇔ a > -8 — верно.

3) -a < 7 ⇔ a > -7 — неверно.

4) a + 8 < 0 ⇔ a < -8 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 4)(\sqrt{8} + 4)$$

Решение

Вычислим выражение: (√8 - 4)(√8 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√8)² - 4² = 8 - 16 = -8.

Ответ: -8.

Ответ: -8

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{6}{x + 3} = -1$$

Решение

Решим уравнение: 6/(x + 3) = -1

Область допустимых значений: x != -3.

Умножим обе части уравнения на x + 3:

6 = -1(x + 3)

Раскроем скобки:

6 = -1x - 3

Перенесём число в левую часть:

9 = -1x

x = 9 / -1

x = -9

Проверка ОДЗ: x = -9, x != -3, условие выполняется.

Ответ: -9

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события B.

Решение

Всего исходов: 36. Вероятность события B равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=18/36=0,5$.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b > 0

2) k < 0, b < 0

3) k > 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 9-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 9 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(9 − 5) = 194.

Ответ: 194.

Ответ: 194

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-4x + 5 > -9x - 4

(-1,8;+∞)

(0;+∞)

(-∞;0,2)

(1,8;+∞)

Решение

Решим неравенство: -4x + 5 > -9x - 4.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x > -9.

Делим обе части на 5: x > -1,8.

Значит, x больше -1,8.

Этому соответствует промежуток (-1,8;+∞).

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 48 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 48 минут пройдёт 6 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 320·($\frac{1}{2}$)^6 = 5 мг.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике два угла равны 77° и 88°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°.

Третий угол равен 180° - 77° - 88° = 15°.

Ответ: 15.

Ответ: 15

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 108° = 72°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 72° / 2 = 36°.

Ответ: 36.

Ответ: 36

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

При угле 45° высота равна половине разности оснований.

h = (9 - 4) / 2 = 2,5.

S = (4 + 9) / 2 · 2,5 = 16,25.

Ответ: 16,25.

Ответ: 16,25

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=3: t=(3−1)/(7−1)=$\frac{1}{3}$. x_A=1+$\frac{1}{3}$·3=2... нет: x_A=3, x_B=5. AB=2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $13a-b+21$, если $\dfrac{2a-5b+8}{5a-2b+8}=3$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $13a-b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-5b+8 = 3(5a-2b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-5b+8 = 15a-6b+24$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 13a-b+16$, откуда $13a-b = -16$.

Шаг 4. Вычисляем: $13a-b+21 = -16+21 = 5$.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 216/x ч, вторым — 216/(x−9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

216/(x−9) − 216/x = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x−9):

216·x − 216·(x−9) = 4·x·(x−9).

1944 = 4·x² − 36·x.

4x² − 36x − 1944 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.

x = (36 + 180) / (2·4) = 27 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 216/27 = 8 ч, второй — 216/18 = 12 ч.

12 − 8 = 4 = 4. ✓

Ответ: 27.

Правильный ответ: 27

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+1,\ x\ne -2 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-2 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-2; 2; 2,5 $.

Ответ: $ -2; 2; 2,5 $.

Правильный ответ: -2; 2; 2,5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 1 = 13.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 13 и катетом DH = 12.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(13² − 12²) = √(25) = 5.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка M равноудалена от S и T

⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.

Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.

Следовательно, MN ⟂ ST. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−12, 0), D = (12, 0) (|AD| = 24).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (24, h). На прямой BE точка E = (0, 24 − h), так как BE = 24.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{24}{4}$ = 18.

Шаг 5. AB = √(h² + (12)²) = √(324 + 144) = 6√13;

BC = 2·AB = 12√13; CA = 18√5.

Ответ: 6√13; 12√13; 18√5.

Правильный ответ: 6√13; 12√13; 18√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.