Загрузка заданий...

Вариант 135 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/70 R12.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 13 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.

Ответ: 195

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 175/65 R13?

Решение

В маркировке 175/65 R13 ширина шины равна 175 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 175 · 65 / 100 = 113.75 мм. Ответ: 113.75.

Ответ: 113.75

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R13?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и нового колеса 195/60 R13. Ответ: 14.4.

Ответ: 14.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/70 R12 получаем диаметр 549.8 мм. Ответ: 549.8.

Ответ: 549.8

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 175/65 R13? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и колеса 175/65 R13, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.4.

Ответ: 1.4

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 : \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,2 : \frac{1}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,2) : \frac{1}{5} = 1$.

Получили результат $1$.

Ответ: $1$.

Ответ: 1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

5 - a > 0

a < 4

a - 5 > 0

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) 5 - a > 0 ⇔ a < 5 — верно.

2) a < 4 ⇔ a < 4 — неверно.

3) a - 5 > 0 ⇔ a > 5 — неверно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4^{-1} \cdot (4^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 4^(-1) · (4^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-1 · 4^4 = 4^3.

Получаем 4^3 = 64.

Ответ: 64.

Ответ: 64

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-9x + 4)}{2} - \frac{(-5x + 9)}{4} + 6x = 8$$

Решение

Решим уравнение: (-9x + 4)/2 - (-5x + 9)/4 + 6x = 8

Домножим обе части на НОК знаменателей 2 и 4, то есть на 4.

Получим:

(-18x + 8) - (-5x + 9) + 24x = 32

Приведём подобные слагаемые:

11x - 1 = 32

Перенесём число в правую часть:

11x = 33

Разделим обе части на 11:

x = 33 / 11

x = 3

Ответ: 3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 20 билетов, Оскар не выучил 16 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 20.

Благоприятных исходов: 4 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{4}{20}$ = 0,2.

Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 20 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 20 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·20² / 2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

Ответ: 0,02

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 5x + 1,5 \geqslant -33,5 \\ x + 0,5 > -4,5 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-5;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 12 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 12, q = 3.

За 60 минут пройдёт 3 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 12·3^3 = 324 мг.

Ответ: 324.

Ответ: 324

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 9, AC = 27. Найдите tg B.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.

tg B = AC / BC = $\frac{27}{9}$ = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 49°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 70° - 49° = 21°.

Ответ: 21.

Ответ: 21

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 7 и 12, а высота равна 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

m = (7 + 12) / 2 = 9,5.

Ответ: 9,5.

Ответ: 9,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.

Катеты равны 6 и 9.

Больший катет равен 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.

3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(3-x)(x^2-9)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить через $(x-3)$.

Шаг 1. $x^2-9=(x-3)(x+3)$ и $3-x=-(x-3)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(3-x)(x^2-9)=-(x-3)^2(x+3)$.

Шаг 3. Неравенство: $-(x-3)^2(x+3)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$: $(x-3)^2(x+3)\le0$.

Шаг 5. Произведение $\le0$ когда $x+3\le0\Rightarrow x\le-3$, или $x=3$.

Ответ: $(-\infty;\;-3]\cup\{3\}$.

Правильный ответ: (-∞;-3]∪{3}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 6 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 6) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 4 км.

Длина круга = x + 4 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 6 мин назад, то есть за (1 − $\frac{6}{60}$) = 0,9 ч.

Длина круга = (x + 6) · 0,9 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 4 = (x + 6) · 0,9.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 14 км/ч.

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 9\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 9.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 9.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 9. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 9.

Проверка: при m = 9 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.

Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 71° − 79° = 30°.

Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.

Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·15·($\frac{1}{2}$) = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 18, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 9.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 9.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 9 + 9 = 18.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 18 · 18 = 324.

Ответ: 324.

Правильный ответ: 324

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.