Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
жилой дом
яблони
теплица
гараж
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.
Ответ: 7352
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.
Ответ: 5
3Задание 31 балл
Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.
Ответ: 36
4Задание 41 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?
Решение
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.
Ответ: 75
5Задание 51 балл
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
25 000 руб.
17 552 руб.
1,3 куб. м/ч
5,2 руб./куб. м
Электр. отопление
21 000 руб.
15 000 руб.
5,2 кВт
4,1 руб./(кВт·ч)
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.
Ответ: 450
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$7,5 - 0,2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(7,5 - 0,2\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((7,5) - 0,2 = 7,3\).
Ответ: \(7,3\).
Ответ: 7,3
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одно из чисел \(\frac{-9}{8}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\frac{19}{11}\), 2,994 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{-9}{8}\)
2
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
3
\(\frac{19}{11}\)
4
2,994
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-9}{8}\) ≈ -1,125
2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ≈ 0,866
3) \(\frac{19}{11}\) ≈ 1,7273
4) 2,994 ≈ 2,994
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(4\sqrt{2})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (4√2)².
Используем свойство степени произведения: (4√2)² = 4² · (√2)².
Получаем 16 · 2 = 32.
Ответ: 32.
Ответ: 32
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-8}{x - 2} = -2$$
Решение
Решим уравнение: -8/(x - 2) = -2
Область допустимых значений: x != 2.
Умножим обе части уравнения на x - 2:
-8 = -2(x - 2)
Раскроем скобки:
-8 = -2x + 4
Перенесём число в левую часть:
-12 = -2x
x = -12 / -2
x = 6
Проверка ОДЗ: x = 6, x != 2, условие выполняется.
Ответ: 6
Ответ: 6
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события \(A \cap \overline{B}\): 2.
\(P=2/8=0,25\).
Ответ: 0,25
Ответ: 0,25
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -1x² + 7x - 7
Б) y = 9/x
В) y = -0.2x - 5
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 13-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 13 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(13 − 5) = 238.
Ответ: 238.
Ответ: 238
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-3x + 9 > -4x + 6
1
(0;+∞)
2
(-∞;-3)
3
(-3;+∞)
4
(3;+∞)
Решение
Решим неравенство: -3x + 9 > -4x + 6.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 1x > -3.
Делим обе части на 1: x > -3.
Значит, x больше -3.
Этому соответствует промежуток (-3;+∞).
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 14 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 14, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 14·3^4 = 1134 мг.
Ответ: 1134.
Ответ: 1134
15Треугольники и их элементы1 балл
Медиана равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 12√3.
Отсюда a / 2 = 12, значит a = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.
Решение
Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 40 = 80.
S = a² = 80² = 6400.
Ответ: 6400.
Ответ: 6400
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 25°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 10 и 6.
Большая диагональ равна 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
2
Все углы ромба равны.
3
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите неравенство: \((x-7)^2<\sqrt{11}(x-7)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести общий множитель \((x-7)\).
Шаг 1. Перенесём \(\sqrt{11}(x-7)\) влево:
\((x-7)^2-\sqrt{11}(x-7)<0\).
Шаг 2. Выносим \((x-7)\) за скобку:
\((x-7)\bigl[(x-7)-\sqrt{11}\bigr]<0\).
Шаг 3. Находим нули: первый множитель обращается в 0 при \(x=7\), второй — при \(x=7+\sqrt{11}\).
Шаг 4. Произведение двух линейных множителей отрицательно строго между их корнями.
Ответ: \((7;\; 7+\sqrt{11})\).
Правильный ответ: (7;7+√11)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.
Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| + 9\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x + 9.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x + 9.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 9. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 9.
Проверка: при m = 9 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: 9.
Правильный ответ: 9
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3,6, а AB = 8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.
Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):
∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.
Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 15. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
